关于线性代数中秩的问题

Question

如果两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n，证明过程关键是思路!

Answer 1

这道题思路很多，给出一个我的思路。
设两个矩阵分别为：A, B
将矩阵B写成列向量形式：B=[b1, b2, ... , bn]；
由A*B=0，得到A*b1=0,A*b2=0,...,A*bn=0；
因此[b1, b2, ... , bn]构成方程Ax=0的解空间的子空间，由线性方程组理论，rank([b1, b2, ... , bn]) <= n - rank(A)，故rank(A)+rank(B)<= n，证完。
这个证明步骤可能还要想一想才能想通。

Answer 2

1楼说的很对，用基础解系的知识就可以解得，这应该是课后的基本练习题
其实还有一种办法，将左边的N阶矩阵进行初等行变换，非0行便是矩阵的秩设为R(A)，相应的×号右边的矩阵至多有N-R(A）个线性无关的列，因为行秩等于列秩。所以R(B)秩最大为N-R(A)
所以R(A)+R(B)<=R(A)+N-R<A>=N
至于LZ用哪个回答基本都可以，不过一楼是正规做法。

Answer 3

由B-A=-(A-B)可知
矩阵B-A与矩阵A-B的所有对应的
元素
均差一个
符号
,故两个矩阵
的子
行列式
或者相等(
偶数
阶)或者差一个符号(
奇数
阶),故两矩阵对应子行列式的值或者同时为零,或者同时不为零,于是两者的不为零的阶最大的子行列式的阶也一样,故两者的秩也一样.