试题分析:(1)设抛物线的解析式是y=ax 2 +bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可; (2)①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标; (3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标. 试题解析:(1)设抛物线的解析式是y=ax 2 +bx+c, ∵正方形的边长2, ∴B的坐标(2,﹣2)A点的坐标是(0,﹣2), 把A(0,﹣2),B(2,﹣2),D(4,﹣ )代入得: , 解得a= ,b=﹣ ,c=﹣2, ∴抛物线的解析式为: , 答:抛物线的解析式为: ; (2)①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t, ∴S=PQ 2 =PB 2 +BQ 2 , =(2﹣2t) 2 +t 2 , 即S=5t 2 ﹣8t+4(0≤t≤1). 答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t 2 ﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1; ②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形. ∵S=5t 2 ﹣8t+4(0≤t≤1), ∴当S= 时,5t 2 ﹣8t+4= ,得20t 2 ﹣32t+11=0, 解得t= ,t= (不合题意,舍去), 此时点P的坐标为(1,﹣2),Q点的坐标为(2,﹣ ), 若R点存在,分情况讨论: (i)假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB, 则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣ , 即R(3,﹣ ), 代入 ,左右两边相等, ∴这时存在R(3,﹣ )满足题意; (ii)假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB, 则R(1,﹣ )代入, , 左右不相等,∴R不在抛物线上.(1分) 综上所述,存点一点R(3,﹣ )满足题意. 答:存在,R点的坐标是(3,﹣ ); (3)如图,M′B=M′A, ∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M, 理由是:∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形, ∴|MB|﹣|MD|<|DB|, 即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大, 设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得: , 解得:k= ,b=﹣ , ∴y= x﹣ , 抛物线 的对称轴是x=1, 把x=1代入得:y=﹣
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