关于椭圆的最值问题

Question

过点（0，2）作直线l交椭圆c：x2/2+y2=1于A、B两点，当三角形AOB的面积最大时，求直线l的方程

Answer 1

先补充一个很有用的知识点
构成三角形的两边的向两位OA=(x1,y1), OB=(x2,y2)
那么ΔOAB的面积为cx1y2-x2y1|

设A(√2cost1, sint1)，B(√2cost2, sint2)
所以OA=(√2cost1, sint1)，OB=(√2cost2, sint2)
所以SΔOAB=(1/2)|√2sint2cost1-√2cost2sint1|=(√2/2)|sin(t2-t1)|
很明显，当t2-t1=π/2时，SΔOAB取到最大值。

t2=t1+π/2，那么A(√2cost1, sint1)，B(-√2sint1, cost1)
为了简便计算，用t来代替t1，所以A(√2cost, sint)，B(-√2sint, cost)
因为M(0,2)和A，B共线，MA=(√2cost, sint-2)，MB=(-√2sint, cost-2)
所以-sint/cost=(cost-2)/(sint-2)
得到sint+cost=1/2
且(sint)^2+(cost)^2=1
得到sintcost=[(sint+cost)^2-1]/2= -3/8
所以(sint-cost)^2=1-2sintcost=7/4
sint-cost=±√7/2

那么kAB=(sint-cost)/√2(sint+cost)=±√14/2
所以得到直线方程为√14x-2y+4=0或者√14x+2y-4=0