不是单连通域，积分与路径无关也可能成立吗？

Question

不是单连通域，积分与路径无关也可能成立吗？同济版的书上那几个条件都写了是单连域的

Answer 1

1.你这答案应该有问题，单连通指中间没有洞的闭区域，题中是单连通，只是有奇点而已，我们目前学的路径无关都是在单连通区域上的，原函数存在，说明沿着任意闭曲线绕回去，做功：F(b)-F(b)=0，必然做功0(路径无关)，所以从概念上去理解；而且你可以带入方程消去分母，再进一步证明路径无关；假如把奇点挖了，就不谈路径无关，就是谈能不能用格林公式之类的问题了(这时连续偏导存)
2.你见到的有奇点，奇点处不存在连续偏导(前提条件)，只是偏P/偏y=偏Q/偏x的的判断条件不能用了，比如原点O为奇点，积分区域又包含O点的椭圆或者圆，前面条件成立时，有两种情况，一是不包含原点任一......积分为0(路径无关)，二是包含原点任一.....积分相等为a(a=0才路劲无关)； 综上那个条件不适用了
3.有奇点，但是可以从概念上把握去解题，任一.....积分为0和存在可微函数....任然可使用，就用这两条件判断

Answer 2

对复连通区域内，任意闭合曲线的曲线积分恒为零即与积分路径无关。第一个不等于零，第二个和第三个恒为零（可用高数书上挖去奇点做法证明），第四个不满足偏导恒等

Answer 3

没错。有洞区域也就是复连通域的话，路径就得绕开洞，那还能叫与路径无关吗？追问

这道题目就不是单连域，但是其中就有积分与路径无关

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Answer 4

Answer 5

可以 只不过不能用那个定理判断 也不能直接用格林公式计算