第1个回答 2024-04-28
明显当 -1<|x-1|<1 即 0<x<2 时，级数收敛，
当 x=0 或 2 时，显然 ∑ (-1)ⁿ/2ⁿ 和 ∑ 1/2ⁿ 均收敛，
所以收敛域是 [0，2] 。
当 x=0 或 2 时，显然 ∑ (-1)ⁿ/2ⁿ 和 ∑ 1/2ⁿ 均收敛，
所以收敛域是 [0，2] 。
第2个回答 2024-04-28
收敛区间为[0,2]
第3个回答 今天 13:53
亲这道题主要考查了幂级数收敛区间的求法。
令t=x-1，则原幂级数可化为\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{2^{n}}。
根据比值审敛法，当\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{t^{n+1}}{2^{n+1}}\div\frac{t^{n}}{2^{n}}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|t|}{2}<1时，级数收敛。
解得|t|<2，即-2<t<2。
将t=x-1代回，可得-2<x-1<2，即-1<x<3。
所以原幂级数的收敛区间为(-1,3)。
你对这个解答还满意吗？如果还有疑问，欢迎继续提问。
令t=x-1，则原幂级数可化为\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{2^{n}}。
根据比值审敛法，当\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{t^{n+1}}{2^{n+1}}\div\frac{t^{n}}{2^{n}}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|t|}{2}<1时，级数收敛。
解得|t|<2，即-2<t<2。
将t=x-1代回，可得-2<x-1<2，即-1<x<3。
所以原幂级数的收敛区间为(-1,3)。
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