为了使用电子计算机和计算技术对测井资料进行自动分析和解释，必然预先导出各种测井物理量与地质参数之间的数学关系式。在测井资料数字处理中，采用了两类不同的解释模型和方法来导出这些数学关系式，即体积模型法和概率模型法。前一类方法应用较广，是目前测井资料数字处理所采用的基本方法；后一类方法尚处于试验应用中。
（一）泥质地层的孔隙度体积模型
所谓岩石体积模型，是用以模拟实际复杂岩石的一种理想化、简单化的岩石模型。它根据测井方法的探测特性和岩石的各种物质成分在物质性质上的差异，把岩石分成物理性质不同的几个部分，然后研究每一部分对测井值的贡献；并把测井值看成是各部分的贡献之和。岩石体积模型法是一种较好的近似研究方法，它具有推理简单、所导出的测井解释公式绝大多数都是适宜于计算机求解的线性公式、便于记忆和应用等优点。
下面以泥质砂岩为例，来说明岩石体积模型法的原理并导出相应的测井解释公式。
设泥质分散地充填在岩石的孔隙空间内（分散泥质），它不承受上覆岩层的压力，保存有较多的束缚水。沿井轴方向截取一块边长为L、体积为V的立方泥质砂岩体，如图6-9（a）。由于岩石骨架（泥质和孔隙水以外的其他固体矿物）、泥质及孔隙水这三者之间存在着较明显的物性差异，为了研究这三种组分对测井值的贡献，我们把它们分别集中起来，便得到如图6-9（b）所示的等效体积模型。
图6-9 泥质砂岩地层的体积模型
若岩石骨架体积、泥质体积、孔隙体积（孔隙中充满了地层水）分别用Vma、Vsh及Vφ表示，显然有
地球物理测井
那么，包括分散泥质在内的地层总孔隙度为
地球物理测井
式中 φc为有效孔隙度；为泥质的相对体积含量。
现在根据图6-9所示的泥质砂岩的体积模型来导出其测井解释的基本公式。
1.密度测井
密度测井测量的是散射伽马射线的强度，散射伽马射线强度反映了地层的电子密度。因此，经过刻度后，密度测井可以直接测得地层的体积密度。
由泥质砂岩的体积模型可知，泥质砂岩的重量G应等于岩石骨架的重量Gma、泥质的重量Gsh及孔隙水的重量Gf之和，即
地球物理测井
而
地球物理测井
其中：ρb为密度测井值；ρma、ρsh及ρf分别为岩石骨架密度、泥质密度及孔隙水密度。
因此有
地球物理测井
最后得到：
地球物理测井
式中：为泥质的相对体积含量；φc=Vφ/V为有效孔隙度。
（6-40）式便是用体积模型法导出的泥质砂岩的密度测井解释基本公式。实际上，这个公式不仅适用于泥质砂岩；而且也适用于其他泥质地层。
2.声速测井
声波速度测井，简称声速测井，是测量滑行波沿井壁地层传播单位距离所需要的时间Δt（称为声波时差）。声波时差与地层的声波速度之间是简单的倒数关系。设泥质砂岩是经过压实的，可以认为声波在岩石中是直线传播。这样，滑行波在泥质砂岩中的传播时间t应等于滑行波在岩石骨架中的传播时间tma、在泥质中的传播时间tsh以及在孔隙水中的传播时间tf之和，即有
地球物理测井
若岩石骨架的声波速度为vma、泥质的声波速度为vsh、孔隙水的声波速度为vf，则上式可写成
地球物理测井
或
地球物理测井
最后得到：
地球物理测井
式中：φc=Vφ/V为有效孔隙度；为泥质的相对体积含量；Δt为声速测井值（声波时差）；Δtma、Δtsh及Δtf分别为岩石骨架的声波时差、泥质的声波时差及孔隙水的声波时差。
（6-41）式是用体积模型法导出的泥质砂岩声速测井解释基本公式，这个公式同样适用于经过压实的其他泥质地层。
3.中子测井
常用的中子测井为中子-热中子测井和中子-超热中子测井。中子-热中子测井是记录热中子密度，而中子-超热中子测井则是记录超热中子密度。地层的热中子密度和超热中子密度的分布，主要取决于地层的含氢量。因此，中子测井值主要反映了地层含氢量的大小。地层的含氢量用含氢指数φN来表示。如果以单位体积纯水的含氢量为1，那么单位体积岩石的含氢量即是地层的含氢指数。
由泥质砂岩的体积模型可知，体积为V的泥质砂岩的含氢量H，应等于岩石骨架的含氢量Hma、泥质的含氢量Hsh及孔隙水的含氢量Hf之和，即有
地球物理测井
设φN、φma、φsh、φf分别代表泥质砂岩的含氢指数（测井值）、岩石骨架的含氢指数、泥质的含氢指数及孔隙水的含氢指数，则上式可得：
地球物理测井
最后得到
地球物理测井
（6-42）式是用体积模型法导出的泥质砂岩中子测井解释基本公式。这个公式同样适用于其他泥质地层。
以上导出的（6-40）、（6-41）、（6-42）式是对泥质地层进行测井资料数字处理的基本方程式。当泥质的相对体积含量为零时，这些公式便转变成不含泥质的纯地层的解释公式。从这些公式可以看出，要从这些公式中解出待求的地质参数（岩石骨架的体积含量、泥质的体积含量及孔隙度），除了测井值（ρb、Δt、φN）可以从相应的测井曲线上读得外，还需要知道岩石骨架、泥质及孔隙水的一些参数，如ρma、ρsh、ρf、Δtma、Δtsh、Δtf、φma、φsh、φf等。这些参数统称为地层参数。尽管在实验室内对各种常见岩石的地层参数都做过精密的测定，都有理论值；但在进行数字处理时，仍需结合工作地区的情况进行地层参数的选择试验，以确保处理的效果良好。
（二）单矿物地层的岩性分析
所谓单矿物地层，是指岩石骨架成分中仅有一种矿物的地层。例如，假定所研究的地层为含泥质的砂岩，地层骨架矿物为石英，在岩石的孔隙中充满了地层水。现在，我们用两种孔隙度测井（在现代测井分析技术中，称密度测井、声速测井、中子测井为孔隙度测井。因为这些测井的读数均与地层的孔隙度有关）来确定所研究地层的砂质、泥质的体积分数（%）及孔隙度。
1.利用中子-密度交会图进行岩性分析
如图6-10所示，如果以中子测井值为横坐标，以密度测井值为纵坐标，使可以对泥质砂岩作出一张中子-密度交会图版。在这张交会图版上，三角形的三个顶点分别为“骨架点”、“泥岩点”和“水点”。这三点构成一个岩性三角形，岩性三角形的三个顶点的坐标，是由已知的地层参数来确定的。在图6-10中，它们的数值为
地球物理测井
图6-10 用中子 密度交会图版确定砂质、泥质的体积分数（%）及孔隙度
图6-11 利用两种孔隙度测井交会图确定单矿物地层的成分及孔隙度
由体积模型法导出的测井解释公式（6-40）、（6-42）可知，测井值与岩石成分的体积含量或孔隙度之间是线性关系。因此，在交会图上确定了三个顶点位置之后，便可以在三个顶点连线上进行线性等距划分，作出如图6-10所示的泥质含量及孔隙度的线性刻度。
当使用交会图版来确定泥质砂岩的砂质、泥质的体积含量及孔隙度时，首先要根据解释层的中子测井读数φN和密度测井读数ρb 在交会图上确定出一个交会点，如图6-10中的A点。该点的φN=29%，ρb=2.42 g·cm-3。然后用线性插值法可求出该地层的孔隙度φ=20%，泥质的体积含量 V′sh =19.5%；而砂质的体积含量则为=[100-（20+19.5）]%=60.5%。
2.利用两种孔隙度测井进行岩性的计算机分析
为了使求解具有通用性，我们用X和Y来代表两种孔隙度测井。它们可以是三孔隙度测井（密度测井、声速测井及中子测井）中任意两种测井的组合。
在X-Y交会图上，根据骨架点、泥岩点、水点的已知坐标，可以建立起一个岩性三角形，如图6-11所示。岩性三角形的三个顶点的坐标为
水 点：（X1，Y1）；
泥岩点：（X2，Y2）；
骨架点：（X3，Y3）。
显然，对于任一饱和含水的泥质砂岩，它的X和Y两种孔隙度测井值所确定的交会点（X，Y）必然会落在该岩性三角形所包围的范围之内。现在的问题是要确定岩性三角形内任意一点处的孔隙度、泥质体积含量及砂质体积含量。
设V1=φ，。根据体积模型法导出的孔隙度测井解释公式，可写出：
地球物理测井
在这个方程组中，第三个方程称为物质平衡方程。现在有三个方程式，而未知量（V1，V2，V3）的个数与方程式的个数相等，因此解此线性方程组便可求出三个待求的未知量。
根据解线性方程组的克莱姆法则，可以把线性方程组（6-43）化为如下形式：
地球物理测井
式中：A1、B1、C1及A2、B2、C2是已知系数，称为交会三角形系数，它们仅取决于交会三角形的三个顶点的坐标：
地球物理测井
其中：
地球物理测井
在程序设计中，按以下步骤进行运算。
1）首先根据给定的交会三角形三个顶点的坐标（X1，Y1；X2，Y2；X3，Y3）按（6-45）式计算出交会三角形系数A1、A2、B1、B2及C1、C2。
2）然后将采样点的测井值（X及Y）和交会三角形系数代入（6-44）式，求得孔隙度V1 =φ、泥质的体积含量及砂质的体积含量。
3）输入下一个采样点的测井值（X，Y），重复步骤2），继续运算，直到解释井段处理完毕为止。
4）调用绘图程序，根据计算结果绘出岩性分析成果图。
（三）泥质地层的电测井解释方程体积模型
1.层状泥质砂岩的电阻率公式。
这类岩性的电阻可看成泥质与纯砂岩部分的电阻并联之和，其体积模型如图6-12所示。
设整个地层横截面积为A，体积为V，电阻为r，电阻率为Rt；泥质部分的电阻为r1、电阻率为Rsh、体积为V1；纯砂岩部分的孔隙度为φsd，体积为V2、电阻为r2、电阻率为Rsd，则：
地球物理测井
图6-12 层状泥质砂岩模型及等效电路
地球物理测井
对纯砂岩部分，应用阿尔奇公式得：
地球物理测井
经整理得：
地球物理测井
把该式代入式（6-46）得：
地球物理测井
（6-47）式即为层状泥质砂岩的电阻率方程。
2.分散泥质、混合泥质等泥质砂岩电阻率公式
地球物理测井
还有常用的Simandoux公式：
地球物理测井
等等。
如果求冲洗带含水饱和度，只需变化一下参数，照样可用电阻率公式形式。变换的参数如下：Rw→Rmf，Rt→Rxo，Rsh→Rshxo，Rcl→（Rcl）xo，Sw→Sxo。如式（6-48）应用于冲洗带，有
地球物理测井
3.韦克斯曼-史密茨模型（W-S模型）
W S模型认为泥质砂岩的导电性就像具有相同的孔隙度、孔隙几何参数（m，n）及流体饱和度的纯净砂岩一样，并且认为这种导电性是粘土颗粒吸附的可交换阳离子与地层孔隙空间中的自由电解液并联导电的结果。图6-13给出100%饱和NaCl水溶液的岩样电导率C0与饱和岩样的平衡溶液电导率 Cw之间的关系。
图6-13 含水泥质砂岩电导率C0与地层水电导率Cw的关系
从图中可以看出，泥质砂岩的电导率比对应的纯砂岩高，这说明泥质有附加导电性。此外，当地层水电导率Cw比较高时，泥质砂岩的电导率与对应的纯砂岩电导率之差Ccx保持不变。按着并联导电观点，含水泥质砂岩的电导率为
地球物理测井
式中：C0，Cex，Cw分别为含水泥质砂岩、粘土交换阳离子和自由电解液的电导率；X、Y为适当的几何常数，表征导电路径几何形状的影响。
当Cex=0时，式（6-51）变为C0=YCw。此时应为含水纯砂岩的解释关系式。根据含水纯砂岩的阿尔奇公式得
地球物理测井
式中：F′为总孔隙度（φt）与泥质砂岩相等的纯砂岩地层因素。
地球物理测井
式中：m为胶结指数。
比较C0=Y·Cw和得：
地球物理测井
由于交换阳离子导电路径的几何形状几乎与自由电解液完全相同，则
地球物理测井
将该式代入式（6-51），得：
地球物理测井
因为Cex=BQV，公式（6-54）可写成：
地球物理测井
式中：B为粘土颗粒表面可交换阳离子的当量电导率，对Na+（25℃时）来说，B=3.83（1-0.83e-0.5C），单位为Ω·cm3/（mg·m）；QV为单位孔隙体积阳离子交换容量，mg/cm3。
对于含油气泥质砂岩地层，油气进入孔隙空间，代替了一部分自由水，与粘土有关的可交换阳离子在剩余的水中更为集中。因此，可设含油气泥质砂岩阳离子交换的有效容量与该地层完全含水时的阳离子交换容量QV和含水饱和度Swt有关，即。类似式（6-55），可得含油气泥质砂岩对应的完全含水泥质砂岩的电导率公式如下：
地球物理测井
即
地球物理测井
式中：Ct为含油气泥质砂岩的电导率；n′为饱和度指数。
式（6-57）即为W-S模型确定含油气泥质砂岩的总含水饱和度的电导率方程。
4.双水模型（D-W模型）
克莱维尔（Clavier）等人进一步分析了W-S模型和粘土水化作用，认为W-S模型不能说明粘土水化的排盐作用，又忽略了粘土表面聚集（Na+）阳离子形成的扩散层具有一定的厚度。为了改进W S模型，克莱维尔等人提出了双水模型，该模型认为泥质砂岩孔隙中含有两部分水：粘土水（或称结合水）和自由水（或称远水），这就是双水的概念。粘土水指的是附着在粘土颗粒表面上的不能自由流动的那一层很薄的水膜中的水；自由水，是相对粘土水而言的，指的是储存在地层孔隙空间内，并与颗粒表面有一定距离的那一部分孔隙水。在粘土水中，聚集了大量可交换的阳离子（Na+），但不含阴离子（Cl-），不含盐，其导电过程是一种阳离子交换过程。自由水的导电特性与普通地层水一样，从水力学性质看它不一定都是可动的。D-W模型认为任何一种含有泥质的地层，除了水的电导性与按其含量计算的导电性不一样以外，其他性质都和孔隙度、弯曲度、流体含量相同的纯地层一样。对含水的泥质地层来说，从电学观点来看，其地层水可以看成是由“粘土水”和“自由水”两种水组成的。泥质砂岩的总导电特性是总孔隙中的自由水和粘土水并联电导的结果；而地层的骨架和干泥质可以认为不导电，对地层的导电不做贡献。据此，我们给出含油气泥质砂岩地层的体积模型，如图6-14所示。
图6-14 含油气泥质砂岩地层的体积模型
根据体积模型可得：
地球物理测井
式中：SWB、SWF分别表示地层的结合水饱和度和自由水饱和度；φB、φF、φH分别代表结合水孔隙度、自由水孔隙度和油气孔隙度。
设自由水电导率为CWF，结合水电导率为CWB，结合水和自由水混合水的电导率为CWM，地层电导率为Ct，则由阿尔奇公式知：
地球物理测井
根据双水模型概念，CWM可用CWB和CWF的并联公式确定，即
地球物理测井
两边同时除以φt，整理得：
地球物理测井
将式（6-60）代入式（6-59）得：
地球物理测井
式（6-61）即为含油气泥质砂岩地层按双水模型推导的确定总含水饱和度的电导率方程。
5.S-B模型
S-B模型使用了可变平衡离子当量电导和双水的概念，因此它综合了W-B和D-W模型的突出特点。此外，该模型还认为平衡离子当量电导随扩散双电层的延伸程度而改变，因此它是温度和地层水电导率的函数。S-B模型假定泥质砂岩的导电特性与具有相同总孔隙度和孔道弯曲度、孔隙中所含水的有效电导率为Cwe的纯砂岩的导电特性相同。Cwe是扩散双电层影响下的液体与自由平衡溶液的有效贡献总和，Cwe的表达式为
地球物理测井
式中：Cw为平衡溶液电导率，S/m；为双电层溶液中平衡离子当量电导率，S/m（mg/cm3）；VfDL为双电层溶液所占体积，小数；n+为双电层内平衡离子浓度，mol/L。
不管双电层延伸程度如何，在双电层影响范围内溶液的离子浓度n+可表示为
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式中：QV为每单位总孔隙体积的有效平衡离子浓度，mg/cm3。将式（6-63）代入式（6-62）得：
地球物理测井
与纯砂岩地层类似，完全含水的泥质砂岩电导率C0为
地球物理测井
式中：Fe为具有相同总孔隙度φt的等效纯砂岩地层的地层因素。
地球物理测井
将式（6-64）代入式（6-66），得出饱和含水泥质砂岩S-B模型的电导率方程：
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在含油气的泥质砂岩中，根据阿尔奇公式可以写出含油气泥质砂岩地层的电导率Ct
地球物理测井
式中：Swt为总含水饱和度，小数；ne为等效纯砂岩地层的饱和度指数；为含油气泥质砂岩的等效地层水电导率，S/m。
类似于Cwe的表达式，可得的表达式：
地球物理测井
在油气层中，与此地层饱含水时的平衡离子浓度和油气层的含水饱和度有关，并且随Swt降低而增大，即
地球物理测井
而
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式中：Vu为单位体积粘土平衡离子的粘土水体积，小数；FDL为双电层扩展因子。
把式（6-70）和式（6-71）代入式（6-69）得：
地球物理测井
将式（6-72）代入式（6-68），得出含油气地层的S-B模型电导率方程：
地球物理测井
将代入式（6-73），得：
地球物理测井
式（6-74）即为确定含油气泥质砂岩地层含水饱和度的S-B模型。