什么是几何表示

Question

如题所述

Answer 1

一、什么是几何？

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位， å¹¶ä¸”关系极为密切。产生于古埃及。

 

高中数学阶段，主要研究的是立体几何与平面解析几何。

立体几何主要研究空间中点、线、面的结构及关系。平面解析几何主要是用代数的方法研究几何问题。

二、什么是几何表示？

几何表示就是代数中抽象问题用几何图形来形象的表示。

如：任一实数都与数轴上的点有着一一对应关系，故常把“实数a”与“数轴上的点a”两种说法看作具有相同的含义而不加以区别（《数学分析》华东师范大学第二版 第2页）

 

高中阶段，通常通过平面直角坐标系把代数与几何联系起来，这与我们所说的数形结合思想是一致的。

如：求函数y=√[(x-2)^2+1]+√[(x+2)^2+4]的最小值。我们可以转化为求x轴上的点(x,0)到点(2,1)和(-2,2)的距离之和的最小值。作出图像，如图所示：

则：y=|AC|+|AB|。作点C关于x轴的对称点C’，则|AC|=|AC’|,所以y=|AB|+|AC’|，连结BC’，这时A，B，C’三点构成三角形(或在一条线上)，根据三角形两边之和大于第三边，可知|AB|+|AC’|>=|BC’|,当且仅当A，B，C’在一条直线上时(即A与D重合时)y达到最小值，此时最小值即为线段BC’的长度。进而可求出最小值。

又如：求lgx=cosx时解的个数。

可以转化为y=lgx，与y=cosx两个函数图像交点的个数。只需看(0,10]内有几个交点即可。

作出图像如图所示，易得有3个交点。

三、常用的几何表示方式：

高中阶段，常用的几种几何表示方式如下，通过以下几种方式，把复杂的、抽象的问题转化成简单的、直观的几何问题，从而很好的解决问题。

1、 å‡½æ•°æˆ–方程可用图像表示，常用来求解或交点个数，判断函数定义域值域或方程的取值范围、最值等；

2、 ç”¨äºŽçº¿æ€§è§„划（或非线性规划），求最优解的问题；

3、 ç”¨äºŽå‡ ä½•æ¦‚型，求事件的概率问题；

4、 ä»£æ•°é—®é¢˜ä¸Žå‡ ä½•é—®é¢˜ç›¸äº’转化，进而使问题简化等。

Answer 2

可以理解为把一个抽象的数学对象用形象化的方法表示出来，譬如数轴中每个点都是对应实数的几何表示；抛物线是代数表达式y=ax^2+bx+c的几何表示。当然，有时一个抽象的对象的几何意义更为重要，给你举个我认为最有代表性的例子：
组合数恒等式：C(n+1,r+1)=C(n,r)+C(n,r+1),其中C（n,r)表示从n个不同东西中任取r个东西后，这r个东西的不同情况数。如果让你证明这个式子，你可以按这样的几何意义证明：从n+1不同个球里任取r+1个球，依据定义，共用C（n+1，r+1）中取法。讨论有两种取球情况：固定某个球，我们叫她球A，若不让A在这r+1个球中,则须从另外n个球中取r+1个球，共C(n，r+1）中取法；若A必须在这r+1个球中，则只需从另外n个球中再取出r个球；这两种情况的加和即为等号右边，综上等号左边等于右边。这就利用了组合数的几何意义证明了这个代数等式。本回答被提问者采纳