高等代数理论基础5：最大公因式

Question

如题所述

Answer 1

定义：若多项式 既是 的因式,又是 的因式,则称 为 与 的一个公因式

定义：设多项式 , 是 的一个最大公因式满足：

(1) 是 的公因式

(2) 的公因式全是 的因式

注： ,f(x)是f(x)与0的一个最大公因式

两个零多项式的最大公因是0

引理：

证明：

定理：

证明：

注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的

f(x),g(x)不全为零,(f(x),g(x))表示首项系数为1的最大公因式

例：设 , ,求 ,并求 , 使

解：

定义： , ,则称f(x),g(x)互素(互质)

注：两个多项式互素,则它们除去零次多项式外没有其他公因式,反之亦然

定理：

证明：

定理：若 ,且 ,则

证明：

推论：若 ,且 ,则

证明：

定义：设多项式 , 为 的一个最大公因式满足：

(1)

(2)若 ,则

注：

1.用符号 表示首项系数为1的最大公因式

2. 全不为零时,

3. ,使

4.若 则称 互素