矩阵A的特征值与特征向量如何求解？

Question

如题所述

Answer 1

1、设x是矩阵A的特征向量，先计算Ax；

2、发现得出的向量是x的某个倍数；

3、计算出倍数，这个倍数就是要求的特征值。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。

扩展资料：

特征向量的性质：

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

Answer 2

设矩阵A为n阶方阵，特征值为λ，特征向量为v，则满足以下条件：Av = λv将上式改写为(A-λI)v=0，其中I为单位矩阵。因为v不为零向量，所以(A-λI)必须是奇异矩阵，即其行列式为0。因此，求解矩阵A的特征值需要解方程|A-λI|=0。解得矩阵A的特征值λ后，我们可以通过求解线性方程组(A-λI)v=0得到对应的特征向量v。具体来讲，我们可以将(A-λI)化为阶梯形矩阵或初等矩阵的形式，从而求解出v。注意，对于重复的特征值，需要重复地使用上述方法求解得到不同的特征向量。总结起来，求解矩阵A的特征值与特征向量的过程可以概括为以下几个步骤：1. 求解|A-λI|=0得到矩阵A的特征值λ；2. 对于每个特征值λ，解线性方程组(A-λI)v=0得到对应的特征向量v。