e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分是什么呢？i是虚数单位。

Question

e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分是什么呢？i是虚数单位。做一道题做到这步卡住了。

Answer 1

e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分是一个广义积分，需要使用复变函数的知识进行求解。
根据欧拉公式，可以将e^(iwt)表示成cos(wt) + i*sin(wt)的形式。因此我们需要求解以下两个广义积分：
∫ cos(wt) dt (-∞到∞)
∫ sin(wt) dt (-∞到∞)
通过计算，可以得到：
∫ cos(wt) dt (-∞到∞) = 0
∫ sin(wt) dt (-∞到∞) = π，如果w>0；
∫ sin(wt) dt (-∞到∞) = -π，如果w<0。
综合起来，e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分是：
当w>0时，积分为π。
当w<0时，积分为-π。
因此，e^(iwt)从负无穷到正无穷的积分并没有一个确定的值，它的值取决于参数w的正负。

Answer 2

积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷可以通过复变函数理论进行计算。
我们知道，e^(iwt) 是复平面上的一个周期函数，周期为 2π/w。积分范围从负无穷到正无穷相当于在一个周期上进行积分。
根据复变函数的留数定理，对于一个周期函数的积分，只有在原点处的留数对积分结果有贡献。
对于函数 e^(iwt)，它在原点处有一个极点，即 w = 0。留数的计算可以通过考虑函数在该点的洛朗级数展开来进行。
由于 e^(iwt) 是一个解析函数，它的洛朗级数展开只有常数项，即 e^(iwt) = 1 + O(t)。
因此，在原点处的留数为 1。
根据留数定理，积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷的结果等于 2πi 乘以原点处的留数，即 2πi * 1 = 2πi。
所以，积分 ∫e^(iwt) dt 从负无穷到正无穷的结果是 2πi。
需要注意的是，这个结果是在复数域中得出的，表示一个复数。

Answer 3

t是自变量的话 2πδ(w) 同学学的是信号吧