已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a-2)x+b,若函数 在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围?

Question

如题所述

Answer 1

解：
对f(x)求导得：f(x)＇=3x^2+2(1-a)x-a(a-2)
可以看出，函数f(x)的斜率轨迹是抛物线，开口向上。
由顶点坐标公式算得抛物线的顶点坐标为（ -(1-a)／3，（-4a^2+8a-1）／3)
f(-1)＇=0时，f(1)＇≠0
要使f(x)在区间(-1,1)上不单调，那么：
f(1)＇≥0且f(-1)＇≥0且（-4a^2+8a-1）／3＜0且-1＜-(1-a)／3＜1 ①
或
f(1)＇f(-1)＇＜0且-(1-a)／3≤-1 ②
或
f(1)＇f(-1)＇＜0且-(1-a)／3≥1 ③

解得第①组不等式得：2-√5≤a≤1-√3/2
第②组不等式无解
解第③组不等式得：4≤a≤2+√5

综上所述，a的取值范围为：2-√5≤a≤1-√3/2 或 4≤a≤2+√5

Answer 2

据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内，
由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时，f(x)严格单调增加
②-1<x1<1，即 -1<a<1；
③-1<x2<1，即-1<-(a+2)/3<1，可得-5<a<1，

综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝

Answer 3

f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a-2),要使f（x）在（-1，1）上不单调，那么f'（x）在（-1，1）内有极值点(即有一个x的值使f‘’（x）=0)，再对f‘（x）求导：f’'(x)=6x+2-2a在（-1，1）内有零点f''(x)=0时，x=（1-a）/3属于（-1，1），即-1<(1-a)/3<1,-2<a<4.

Answer 4

对上式求导：f（X）'=3X^2+2（1-a）X-a（a-2）=3[X+(1-a)/3]^2-[(1-a)/3]^2-a(a-2)
X=(1-a)/3是上式的对称线
所以-1<(1-a)/3<1
-2<a<4
所以a的取值范围是（-2,4）

Answer 5

解：求导有f（x）’=g（x）=3x²+2（1-a）x-a（a-2）
因为区间不单调，所以导函数g（x）在该2点必变号，所以有
g（-1）g（1）=（1+4a-a²）（5-a²）＜0
解不等式有a∈（-5½，2-5½）∪（5½，2+5½）即为所求