第1个回答 2020-11-23
平面问题的定性：
1.几何：为截面形状沿形心轴不发生变化的柱体，多数情况轴线尺寸越大于或远小于截面尺寸（载荷包括体力和侧面面力，由平衡方程和力边界条件可得）。
2.载荷：受到与截面平行的面内自平衡载荷作用，轴向无载荷，且载荷沿形心轴不变。
平面应力状态定性：
1.变形后截面依然保持平面（由几何方程积分得到轴向位移，当轴向位置固定时，轴向位移为其他两个自由度的线性函数）。
2.轴向应变为其他两个自由度的线性函数（由应变协调方程可得）。
以上两个条件（本质是一个条件）可严格定性为平面应力状态。若不满足以上条件，薄板构件问题也可视作广义平面应力状态，这是由于轴向应力分量相比其他应力分量较小，可以忽略不计（直观而言，薄板构件前后表面轴向应力为0，由于应力的连续变化，板内轴向应力大小有限），但由于不是严格平面应力状态，其他物理量不严格为x，y的函数，而与轴向也相关，因而需取平均值处理。
平面应变状态定性:
1.轴向应变为0，由于载荷作用于面内自平衡且沿轴向不变，因而载荷对称，必有中段轴向位移为0约束，可取中段为z＝0（由几何方向积分可得）。由此可见需有足够的轴向约束。
2.由端面力边界条件可得端面载荷需按一定的要求分布。
倘若轴线完全被约束，则可直接判断为严格平面应变状态。凡受截面自平衡载荷以及端面轴向载荷作用的柱形杆都可视作广义平面问题处理，但变形后截面依然保持平面。平面应变状态适用范围更广。
平面问题的位移解法没什么特别的。
平面问题的应力解法：对于无体力或常体力问题（即常体力问题），当边界条件均为力边界条件时（因为位移边界条件和弹性 常数有关），只要对象的几何形状和加载情况相同（包括力边条加载），不论弹性常数和平面问题种类，截面面内的应力分量大小和分布均相同，但轴向物理量未必。
平面问题的艾里应力函数解法：
艾里应力函数的应用条件：体力有势；只能处理力边条（或者化为力边条）问题。
1.由艾里应力函数导出的截面面内应力分量自动满足平衡方程；
2.应力协调方程转化为艾里函数的双调和方程；
3.力边界条件转化（重头戏）:
对于无体力情况（有体力情况可以通过修改力边界载荷转化为无体力情况），应力函数在某点的值等于初始点到该点边界上所有边界载荷对该点的主矩；应力函数对y求偏导在某点值等于初始点到该点边界上所有边界载荷的x方向主矢；应力函数对x求偏导等于初始点到该点所有边界上所有边界载荷的y方向主矢（初始点应力函数值及一阶偏导值均取0）。
由此可以推出应力函数的单值条件:面内载荷自平衡，平面问题自动满足。
应力函数的其他性质:应力函数值与坐标选择无关；应力函数表达差若干线性方程不影响结果。