线性代数证明题 m＞n m个n维向量为线性相关 证明：R[α1,α2,...αm]＜m

Question

如题所述

Answer 1

即是要证明: 向量的个数大于向量的维数时, 向量组线性相关
证明:
设 α1,...,αm 是n维列向量
令 A=(α1,...,αm).
则 r(A) ≤ min{m,n} [ 矩阵的秩不超过它的行数和列数 ]
因为 m>n
所以 r(A) ≤ n < m.
所以 r(α1,...,αm) =r(A)<m. [ 矩阵的秩等于其列秩和行秩 ]
即 向量组α1,...,αm线性相关.

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Answer 2

m个向量构成n×m矩阵设为A=[α1,α2,...αm]
因为矩阵的秩小于等于行数与列数的最小值,
而 m＞n
所以R(A)<=n
又
矩阵的秩=列向量组的秩=行向量组的秩
从而 R[α1,α2,...αm]=R(A)<=n<m
即 R[α1,α2,...αm]<m