上限x下限0，被积函数f，的变限积分函数求导如下：
[∫积分上限函数（x，0）f（y）]'=x’*f（x）=f（x）
将原式展开,由于是对t的积分,（x-t）中的x是常数,可以提出来∫(0,x) (x-t)f(t)dt = x∫(0,x) f(t)dt - ∫(0,x) t f(t)dt 对x求导得 ∫(0,x) f(t)dt + xf(x) - xf(x) = ∫(0,x) f(t)dt。
拓展资料：
积分变限函数是指如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。
设函数f(x)在区间[a,b]并且设x为[a,b]上的一点，考察下面函数：
1.函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。
2.积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。
3.从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。
积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。
资料链接：百度百科_积分变限函数
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