怎么证明这个函数连续，但不可导

Question

当x<=0时f(x)=x
当x > 0时f(x)=2x² sin(1/x)
为什么他连续，
又为什么不可导？

Answer 1

因为当x<=0时f(0)=0,当x > 0时f(0)=0
所以当x=0时，分段函数的左边等于右边
所以连续
当x<=0时，f'(x)=1,f'(0)=1
当x>0时，f'(x)=4xsin(1/x)-2cos(1/x),f'(0)不存在
所以当x=0时，f'(x)的左边不等于右边
所以不可导

Answer 2

f(0)=0
lim(x趋近于0+)f(x)=lim(x趋近于0+)2x² sin(1/x)=0
lim(x趋近于0-)f(x)=lim(x趋近于0-)x=0
lim(x趋近于0)f(x)=0=f(0)
连续
f`(0+)=lim(x趋近于0+)[f(x)-f(0)]/[x-0]
=lim(x趋近于0+)f(x)/x
=lim(x趋近于0+)2x² sin(1/x)/x
=lim(x趋近于0+)2x sin(1/x)
=0
f`(0-)=lim(x趋近于0-)[f(x)-f(0)]/[x-0]
=lim(x趋近于0-)f(x)/x
=lim(x趋近于0-)x/x
=1
f`(0+)不=f`(0-)
不可导

Answer 3

应该是它在x=0处连续，但不可导
f(0-)=lim(x→0-)x=0
f(0+)=lim(x→0+)2x^2*sin(1/x)=0
(无穷小与有界变量的乘积为无穷小）
f(0)=0
故f(x)在x=0处连续
f'(0-)=lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/x=lim(x→0-)x/x=1
f'(0+)=lim(x→0+)[f(x)-f(0)]/x
=lim(x→0+)2x^2*sin(1/x)/x
=lim(x→0+)2xsin(1/x)=0
因f'(0-)≠f'(0+)
故f(x)在x=0处不可导

Answer 4

解：当x<=0时, f(x)=x
limx→0f(x)=f(0)=0
当> 0时f(x)=2x² sin(1/x)
limx→0f(x)=2x² sin(1/x)=0=f(0)
∵两极限相等，即0=0，
∴该函数连续
当x<=0时f(x)=x
limx→0{f(x)-f(0)/x-0}=1
当x > 0时f(x)=2x² sin(1/x)
limx→0{f(x)-f(0)/x-0}=2xsin(1/x)=0
∵两极限不相等，即1≠0，
∴该函数不可导