为什么导函数的间断点只能为第二类间断点？求答案

Question

如题所述

Answer 1

导函数f'(x0)存在，那么f'(x0)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在（左趋近、右趋近都存在且相等）若f'(x)在x=x0处为跳跃间断点，则lim左趋近 f'(x)不等于lim右趋近 f'(x)，而lim左趋近 [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim右趋近 [f(x)-f(x0)]/(x-x0)用洛必达法则可知，lim左趋近 f'(x)=lim右趋近 f'(x)矛盾若f‘(x)在x=x0处为可去间断点，这和f'(x0)是x=x0处的导数定义式f'(x0)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim f'(x) （洛必达法则）相矛盾综上，f'(x)在x=x0处不可能有第一类间断点

Answer 2

满意答案在窗台上散步2级2011-05-05对可导函数的间断点一定是第二类间断点这个结论的疑问
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解决时间：2010-12-5
18:01
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提问者：cyd1990
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检举
既然它导函数存在第二类间断点就说明该点的左导数不能等于右导数，那既然如此在该点就违反了导数可导的条件（即左导数=右导数），那又怎么说明其在（a,b）内可导呢？
最佳答案
一个函数的导函数存在第二类间断点只能说明它（指导函数）的导数（导函数的导数就是原函数的二阶导）在该点的左极限不等于右极限。也就是说这个函数的二阶导在这个点上的左极限不等于其右极限f''(x-)
!=
f''(x+)；而不能说明该点的左导数不等于右倒数（f'(x-)
!=
f'(x+)）。我们把这样的函数称为一阶平滑的。
举个分段函数的例子给你就明白了：设f(x)定义如下：
当x0时，
f(x)
=
x^2。这个函数的一阶导是存在的，且f'(x)可以这样描述：
当x