本题中求容器内落入n个液滴后偏离O点的最大位移时,若从动量守恒和能量守恒的角度求解,将涉及弹簧弹性势能的定量计算,超出了中学大纲的要求,如果改用动量定理和动量守恒定律求解,则可转换成大纲要求的知识的试题。 小题1:(1)弹簧振子在做简谐运动过程中,影响其振动周期的因素有振子的质量和恢复系数(对弹簧振子即为弹簧的劲度系数),本题中恢复系数始终不变,液滴的落入使振子的质量改变,导致其做简谐运动的周期发生变化。 容器中落入n个液滴后振子的质量为(M+nm),以n个液滴落入后到第(n+1)个液滴落入前,这段时间内系统做简谐运动的周期T n =2π ,容器落入n个液滴到(n+1)个液滴的时间间隔△t=T n /2,所以 △t =π 小题2:(2)将容器从初始位置释放后,振子运动的动量不断变化,动量变化的原因是水平方向上弹簧弹力的冲量引起的,将容器从静止释放至位置O的过程中,容器的动量从零增至p,因容器位于O点时弹簧为自然长度,液滴在O点处落入容器时,容器和落入的液滴系统在水平方向的合力为零, 根据动量守恒定律,液滴在O处的落入并不改变系统水平方向的动量,所以振子处从位置O到两侧相应的最大位移处,或从两侧相应在的最大位移处到位置O的各1/4周期内,虽然周期T n 和对应的最大位移L n 在不断变化,但动量变化的大小均为△p=p-0=p,根据动量定理可知识,各1/4周期内弹力的冲量大小均相等,即: F 0 (t)·T 0 /4 = F n (t)·T n /4 其中T 0 是从开始释放到第一次到O点的周期,T 0 =2π 。T n 是n个液滴落入后到(n+1)个液滴落入容器前振子的周期,T n =2π 。而F 0 (t) 和F n (t)分别为第一个1/4周期内和n个液滴落入后的1/4周期内弹力对时间的平均值,由于在各个1/4周期内振子均做简谐运动,因而弹力随时间均按正弦(或余弦)规律变化,随时间按正弦(或余弦)变化的量在1/4周期内对时间的平均值与最大值之间的关系,可用等效方法求出,矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时,从中性而开始计地,产生的感应电动势为ε=ε m sinωt= NbωSsinωt。ε按正弦规律变化,根据法拉第电磁感应定律ε=N ,ε在1/4周期内对时间的平均值ε=2ε m /π。这一结论对其它正弦(或余弦)变化的量对时间的平均值同样适用,则有 F 0 (t)=2kL 0 /π,F n (t)=2kL n /π 代入前式解得:L n = L 0