向量组有线性无关的充分必要条件是什么？

如题所述

第1个回答 2024-01-14

设向量组a1,a2,...,an两两正交且都不等于0
假设有一组系数c1c2..,cn使得
c1a1 +c2a2+...+cnan=0
则0=<ai, c1a1+c2a2+...+cnan> = c1<ai,a1> +...ci<ai,ai>...+cn<ai,an>

由于向量两两正交，因此<ai, aj> =0，当i不等于j时，
因此上式=ci<ai,ai>
因为<ai,ai>不等于0，所以ci=0
所以所有系数都为0，根据线性无关定义，这个向量组线性无关

相似回答

向量线性无关的充分必要条件是什么?答：设A为n阶方阵，A的秩R（A）=r小于n，那么在A的n个列向量中必有，一个行向量线性无关。R（A）=r＜n⇒A的行秩=r＜n⇒A的行向量组的最大无关组含r个行向量。A的行秩为r，意味着A的行向量组中，存在r个向量线性无关。但r＜n，所以A的行向量组中的n个向量是线性相关的...