深化理解：GARCH模型在非平稳序列中的随机分析
GARCH模型，全称广义自回归条件异方差，是针对非平稳序列中异方差性长期存在的问题而设计的。相较于基础的ARCH模型，它在模型设计上增加了对自相关性的考虑，从而更好地拟合具有复杂波动性的序列。
首先，GARCH模型的基本原理是通过p阶自相关项与q阶残差平方序列的结合，捕捉到序列中异方差函数的长期和短期动态。然而，如果序列的异方差性表现出长期记忆效应，仅仅依赖于移动平均模型的ARCH模型可能无法精确描述，因为这会导致自相关阶数的显著增加，增加参数估计的复杂性和误差。
为了解决这个问题，Bollerslev在1985年提出了GARCH模型，它在ARCH模型的基础上扩展了自回归项，允许对异方差性进行更深入的分析。GARCH(p, q)模型的出现，使得我们可以有效地处理那些具有长期自相关性的异方差序列，而不仅仅是短期的。
从AR-GARCH模型的构建来看
当残差序列并非纯随机且可能存在自相关时，需要先通过AR模型进行预处理。AR-GARCH模型结合了AR模型和GARCH模型，先通过线性回归提取序列的水平信息，确保残差的零均值和异方差性。然后，通过DW统计量检查自相关性，如果存在，进一步通过自回归拟合消除自相关性，得到更精确的残差序列。
在拟合GARCH模型之前，我们通过ARCH检验确认残差序列的异方差性。如果发现异方差性显著，GARCH模型便能有效捕捉序列的波动性，如GARCH(1,1)模型，它巧妙地平衡了水平信息和波动性信息的建模。
GARCH模型的局限与拓展
尽管GARCH模型被广泛应用，但它并非完美无缺。参数的非负约束和条件方差的稳定性要求限制了其适用范围。此外，GARCH模型对正负扰动的反应是对称的，这与现实中投资者对收益和亏损反应的不对称性不符。为了增强模型的灵活性和准确性，统计学家们发展了诸如EGARCH（考虑了扰动的非对称性）、IGARCH（适用于随机游走序列）和GARCH-M（结合了均值与波动性的关系）等衍生模型。
总的来说，GARCH模型不仅是非平稳序列随机分析的重要工具，但其扩展模型的出现，进一步丰富了我们理解和处理复杂金融数据的能力。通过深入理解其原理和应用，我们可以更好地利用GARCH模型来揭示和预测金融市场的动态。