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导数与微积分y’=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2),y(1)=-1,求y
导数与微积分
y’=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2),y(1)=-1,求y
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推荐答案 2011-01-17
lagimem ,你好:
这个是齐次微分方程,解题的关系就是分子分母同除以x^2(当然也可以同除y^2).于是,y'=[(y/x)^2-2y/x-1]/[(y/x)^2+2y/x-1],于是再令:u=y/x, 测 ux=y,两边微分有 xdu+udx = dy, 有 xdu/dx + u =dy/dx =y'
所以原方程变为 u+ xdu/dx=[u^2-2u-1]/[u^2+2u-1],再将u移到右边去,整理一下得出u,x的微分方程,两边积分就可以了
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第1个回答 2011-01-17
具体过程如下:
令y=tx(当然这个t是关于x的函数)
那么y'=t'x+t,原式变为:
t'x+t=【(tx)^2-2x*tx-x^2)】/【(tx)^2+2x*tx-x^2)】
t'x+t=(t^2-2t-1)/(t^2+2t-1)
t'x=-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)
下面是换成微分的形式,运用t'=dt/dx,得到:
一、当t不等于-1时;
【-(t^2+2t-1)/(t^3+t^2+t+1)】dt=【1/x】dx
两边分别积分:
注意到-(t^2+2t-1)/(t^3+t^2+t+1)=1/(t+1)-2t/(t^2+1)
所以积分得到ln|t+1|-ln|t^2+1|=ln|x|+C (C为常数)
化简得到|(t+1)/(t^2+1)|=e^C * |x|
脱去绝对值符号后得到 (t+1)/(t^2+1)=正负e^C * x
(t+1)/(t^2+1)=cx(c为非0常数,注意这里的c与C不通)
即x+y=c(x^2+y^2) (c为非0常数) 1式
二、等t=-1时,左边t'x=0,右边-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)=0
这说明t=-1是方程的特解,即x+y=0 2式
综合1式和2式我们得到最终的通解为:
将y=tx代入得到:
x+y=c‘(x^2+y^2) (c’为常数) 3式
因为y(1)=-1
所以1+(-1)=c‘(1^2+(-1)^2)
c’=0
把c‘=0代入到3式中得到原题答案为:
y=-x本回答被提问者采纳
第2个回答 2011-01-17
这是一个齐次方程,等式右边分子分母同时除以x^2,
得y’=【(y/x)^2-2(y/x)-1】/【(y/x)^2+2(y/x)-1】
令y/x=p 即y=px,得dy=xdp+pdx(求全微分),所以y’=dy/dx=xdp/dx+p
xdp/dx+p=【p^2-2p-1】/【p^2+2p-1】
xdp/dx=【p^2-2p-1】/【p^2+2p-1】-p=-【p^3+p^2+p+1】/【p^2+2p-1】
【p^2+2p-1】/【p^3+p^2+p+1】dp=-1/x dx
相似回答
...条件的特解
y'=(y^2-2xy-x^2)
/
(y^2+2xy-X^2)
y|x
=1=1
答:
右边分子分母同除以
x^2
,得:y'=[(y/x)^2-2(y/x)-1]/[(y/
x)^2+2(y
/x)-1]令y/x=u,y=xu
,y'=
u+xu'则原方程化为:u+xu'=[u^2-2u-1]/[u^2+2u-1]整理得:x(du/dx
)=
-(u^3+u^2+u+1)/(u^2+2u-
1)
分离变量得:-(u^2+2u-1)/(u^3+u^2+u+1)du=dx/...
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