最小生成树唯一吗

Question

如题所述

Answer 1

最小生成树不一定唯一。
详细
首先，要明确什么是最小生成树。在一个连通加权图（无向图）中，最小生成树是这样的一棵子图：它包含原图中的所有顶点，且构成一棵树；所有边的权重之和最小。通常，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来求解一个图的最小生成树。
然而，一个图的最小生成树并不一定是唯一的。这意味着，一个图可能存在多棵不同的最小生成树，它们的边的权重之和都是最小的。这种情况通常发生在图的边具有相同的权重时。
例如，考虑一个包含四个顶点A、B、C和D的图，其中边AB、AC和BC的权重都是1，而边BD的权重是2。这个图有两棵不同的最小生成树：一棵包含边AB、AC和BD，另一棵包含边AC、BC和BD。这两棵树的边的权重之和都是3，因此它们都是最小生成树。
这种非唯一性是因为最小生成树的算法在面临相同权重的边时，需要做出选择。不同的选择可能导致不同的最小生成树。然而，当图的所有边的权重都是唯一的（即没有两条边的权重相同）时，最小生成树是唯一的。这是因为在这种情况下，算法在每一步的选择都是确定的，没有任何歧义。
总的来说，最小生成树的唯一性取决于图的边的权重的分布情况。当存在相同权重的边时，可能存在多棵不同的最小生成树；当所有边的权重都是唯一的时，最小生成树是唯一的。