为什么A为n阶矩阵，AA*=O，则r(A)+r(A*)≤n

Question

如题所述

Answer 1

由于A是n阶矩阵，则有只三种可能，r(A)=n； r(A)=n-1 ；r(A)<n-1
1、若r(A)=n，可将A*视为AX=0的解向量X组成的矩阵，此时只有零解，且此时r(A*)=n（A*由A的n-1阶代数余子式组成，此时A的n-1阶代数余子式非0），r(A)+r(A*)=2n，与题矛盾
2、r(A)=n-1，可将A*视为AX=0的解向量X组成的矩阵，由线性方程组章节的定理：线性无关解向量的个数=r(A*)=n-r(A)=1，此时r(A)+r(A*)=n
3、若r(A)<n-1，A的n-1阶代数余子式全为0，而A*由A的n-1阶代数余子式组成，故A*=零向量矩阵r(A*)=0，此时r(A)+r(A*)<n-1<n
综上 AA*=0时，r(A)+r(A*)≤n

Answer 2

如上，记住重要结论。通过这两天回答的问题来看，发现很多人没有掌握高等数学的基本思想方法。单纯从应试角度来说也没有掌握应试方法。

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