如图，在棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E 是棱 AB 上的动点. （1）求证： DA

Question

如图，在棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 E 是棱 AB 上的动点. （1）求证： DA 1 ⊥ ED 1 ；（2）若直线 DA 1 与平面 CED 1 成角为45 o ，求 的值；（3）写出点 E 到直线 D 1 C 距离的最大值及此时点 E 的位置（结论不要求证明）.

Answer 1

（1）证明过程详见解析（2） ；（3）点 E 到直线 D 1 C 距离的最大值为 ，此时点 E 在 A 点处.

试题分析：本题主要以正方体为几何背景考查线线垂直、线面角、点到直线的距离、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、计算能力.第一问，根据已知条件中的垂直关系，建立空间直角坐标系，要证明 DA 1 ⊥ ED 1 ，只需证明 即可，建立空间直角坐标系后，写出有关点的坐标，得到向量 和 的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算；第二问，先利用求平面法向量的计算公式，求出平面 的法向量，由已知直线与平面成角为 ，利用夹角公式得到方程，解出m，即 的值；第三问，由图形得到结论. 试题解析：解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则 D (0,0,0), A （1，0，0）， B (1,1,0)， C (0,1,0), D 1 (0,1,2), A 1 (1,0,1)，设 E (1,m,0)（0≤m≤1） （1）证明： ， 所以 DA 1 ⊥ ED 1 .                              4分 （2）设平面 CED 1 的一个法向量为 ,则 ，而 ， 所以 取z=1,得y=1,x=1-m，得 . 因为直线 DA 1 与平面 CED 1 成角为45 o ，所以 所以 ，所以 ，解得m= .  11分 （3）点 E 到直线 D 1 C 距离的最大值为 ，此时点 E 在 A 点处.   14分