二元一次方程组是指含有两个未知数（x和y），并且所含未知数的项的次数都是1的方程组。把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程个二元一次方程组。每个方程可化简为ax+by=c(ab不等于0)的形式。
相关定义
把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个方程含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程 的其中一个解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解。
知识梳理
1．二元一次方程（组）及解的应用：注意:方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
2．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，
3．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。
解法
消元法
1）代入消元法
用代入消元法的一般步骤是：
1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；
2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
3.解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；
4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；
5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组 ：x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③代入②，得6(5-y)+13y=89
得 y=59/7
把y=59/7代入③，得x=5-59/7
得x=-24/7
∴ x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
2）加减消元法
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
用加减消元法解方程组的的第一种方法
例：解方程组：
x+y=9①
x-y=5②
解： ①+②
得： 2x=14
∴x=7
把x=7代入①
得： 7+y=9
∴y=2
∴方程组的解是:x=7
y=2
用加减消元法解方程组的的第二种方法
例：解方程组：
x+y=9①
x-y=5②
解： ①+②
得： 2x=14
∴x=7
①-②
得： 2y=4
∴y=2
∴方程组的解是:x=7
y=2
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解，再代入方程组的其中一个方程。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction），简称加减法。
3）顺序消元法
设二元一次方程组为：
ax+by=c (1)
dx+ey=f (2)
(a,b,d,e是x,y的系数）
则可得出求解二元一次方程组的公式：
以上过程称为“顺序消元法”，对于多元方程组，求解原理相同。
应为在求解过程中只有数之间的运算，而没有整个式子的运算，因此这种方法被广泛地用于计算机中。
换元法
例2，（x+5)+(y-4)=8
（x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（2）等量关系：
女孩人数=男孩人数 - 1
男孩人数=（女孩人数 - 1）x 2
（3）设男孩有x人，女孩有y人
y= x-1·················（a）
x=2（y-1） ········（b）
把（a）代入（b）得：
x=2（x-1-1）
x=2x-4
∴x=4
把x=4代入（a）中：
y=4-1
y=3
即男孩有4人，女孩有3人；
（4）本题可以列一元一次方程求解；
用列二元一次方程组得方法求解，关系式比较简洁，列每个方程显得更加方便 明了。
【高兴解决问题希望习所帮助】≤、≥ ∠
（2）等量关系有：
1、蓝色游泳帽数量=男孩人数，红色游泳帽数量=女孩人数；
2、蓝色游泳帽数量-1=红色游泳帽数量；
3、（红色游泳帽的数量-1）×2=蓝色游泳帽的数量
（3）设：男孩有x人，女孩有y人。
①x-1=y
②2(y-1)=x
解以上两个方程得：2(x-1-1)=x，2x-2-2=x，x=4，y=3
∴男孩有4人，女孩有3人本回答被提问者采纳