如何根据特征向量和特征值求矩阵

Question

如题所述

Answer 1

对于特征值λ和特征向量a，得到Aa=aλ

于是把每个特征值和特征向量写在一起

注意对于实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交

得到矩阵P，再求出其逆矩阵P^(-1)

可以解得原矩阵A=PλP^(-1)

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。

一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 

反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

扩展资料：

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

在A变换的作用下，向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的一个特征向量，λ是对应的特征值（本征值），是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。

参考资料来源：百度百科——特征值

参考资料来源：百度百科——特征向量

Answer 2

首先记住基本公式，
对于特征值λ和特征向量a，得到Aa=aλ
于是把每个特征值和特征向量写在一起
注意对于实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交
得到矩阵P，再求出其逆矩阵P^(-1)
可以解得原矩阵A=PλP^(-1)本回答被提问者采纳

Answer 3

根据特征向量和特征值求矩阵的过程如下：1. 确定特征向量和特征值假设矩阵A是n阶方阵，特征值为λ1，λ2，…，λn，对应的特征向量为x1，x2，…，xn。2. 构造特征矩阵将n个特征向量x1，x2，…，xn组成矩阵X=[x1,x2,…,xn]，这个矩阵就是特征矩阵。3. 根据特征值构造对角矩阵将特征值按照从大到小的顺序排列，并构造对角矩阵D=[λ1 0 … 0; 0 λ2 … 0; … ; 0 0 … λn]，其中对角线上的元素就是特征值。4. 求解矩阵矩阵A就可以表示为A=XDX^-1，其中X^-1是特征矩阵X的逆矩阵。通过这个方法可以求出矩阵的特征值和特征向量，并且可以将矩阵表示为特征矩阵、对角矩阵和特征矩阵的逆矩阵的乘积形式。

Answer 4