基本不等式求最值问题

Question

如题所述

Answer 1

由已知x，y是正实数，且x+y=1，则
x²/(x+2)+y²/(y+1)
=(x²-4+4)/(x+2)+(y²-1+1)/(y+1)
=
(x-2)+(y-1)+4/(x+2)+1/(y+1)
=
4/(x+2)+1/(y+1)-2
=4/(x+2)+1/(2-x)-2
=(10-3x)/(4-x²)-2
设
f(x)=(10-3x)/(4-x²)
求导得
f'(x)=(-3x²+20x-12)/(4-x²)²
令f'(x)=0可得
x=2/3（或6舍）
故
(0，2/3)为单调减区间，(2/3，1)为单调增区间
即
当x=2/3时，f(x)取最小值
此时
x²/(x+2)+y²/(y+1)=f(x)-2也取得最小值
计算可得最小值=1/4

Answer 2

一、
注意基本定理应满足的条件
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一
定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
二
连用基本不等式要注意成立的条件要一致
有些题目要多次用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致．
有些题目，直接用基本不等式求最值，并不满足应用条件，但可以通过添项，分离常数，
平方等手段使之能运用基本不等式，下面我们来看几种经常用到的方法．
1添项
2分离常数
3平方