怎么根据导函数求原函数

Question

比如已知原函数里不存在常数项，求图片里导函数的原函数

Answer 1

原函数：y=2/3*√(9-x²)

求导【是一个过程和结果】：y'=[2/3*√(9-x²)]'=2/3*1/2*1/√(9-x²)*(-x²)'=-2x/[3√(9-x²)]

导数【导函数简称导数】：y'=-2/3*x/√(9-x²)

求原函数【通过积分来求】：

积分【是一个过程和结果】：令 x=3sint 则 x²/9=sin²t，cost=√(1-sin²t)=1/3*√(9-x²)；且 dx=3d(sint)=3costdt

∫-2/3*x/√(9-x²)dx=-2/3∫3sint/√[9(1-sin²t)*3costdt]=-2/3∫3sint/√[9(1-sin²t)*3costdt]=-2∫sint*cost/cost*dt=-2∫sintdt=-2*(-cost)+C=2cost+C=2/3*√(9-x²)+C=y+C【原函数，已还原】

Answer 2

三角换元

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Answer 3

let
x=√q.sinu
dx=√q.cosu du
∫(2/3)√(q-x^2) dx
=(2/3)q.∫ (cosu)^2 du
=(1/3)q.∫ (1+cos2u) du
=(1/3)q .[ u +(1/2)sin2u] +C
=(1/3)q .[ arcsin(x/√q) +x.√(q-x^2)/q ] +C
原函数 ： (1/3)q .[ arcsin(x/√q) +x.√(q-x^2)/q ]

Answer 4

解如图。

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