等边三角形中有一点到三顶点的距离分别为5，4，3，求等边三角形的周长．

Question

请写出过程,用初二知识解答.

Answer 1

答案：边长为6，周长为18。设边长为X，在三角形找一点，连接三边顶点构成三个三角形，一边长与长为3和4的边构成一个三角形，用三角形的三边关系有1<X<7则x可取2，3，4，5，6。同理一边长与45两边构成三角形1<X<9则x可取2，3，4，5，6，7，8。剩下一边求出2<X<8则X可取3，4，5，6，7。公共部分为3，4，5，6其中（3，4，5）不行，舍去。所以X取6。…………

Answer 2

设边长为X。
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的原理，可以排出三个不等式：
1. (4-3)<X<(3+4)---------X为2，3，4，5，6
2. (5-3)<X<(5+3)---------X=3,4,5,6,7
3. (5-4)<X<(5+4)---------X=2,3,4,5,6,7,8
所以X=3，4，5，6
又因为：（从这个点到顶点的距离是5，加延长线到等边三角形的一边。成直角三角形。因直角三角形中，斜边大于直角边。
所以 X>5+? --------X>5
所以 X=6

注：此种解法只适用与边长为整数的情况。初二学生是不是要考虑到非整数情况。本人有待考证。

Answer 3

解：设此点为O，三角形ABC边长为a，点A作AD垂直BC于D。
连接AO、BO、CO，
可得三角形AOB、AOC、BOC，
则S三角形AOB=5/2*a，
S三角形AOC=2a，
S三角形BOC=3/2*a；
则AD=1/2*根号3*a，
S三角形ABC=1/2*1/2*根号3*a*a
=S三角形AOB+S三角形AOC+S三角BOC
=1/2* （5+4+3）a
得a=8*根号3
三角形ABC周长=3*8*根号3=24*根号3

Answer 4

正确答案为25+12倍根号3。
过程：主要方法为旋转。将其中有5和3的三角形旋转,构成两个三角形（一个等边，一个直角三角形）求得原三角形底边所对的角为150。在用余弦定理可求得边长.

Answer 5

应是12根号3
一个等边三角形可以分成三个分别以3、4、5为高的三角形。设等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积就为三个三角形面积之和：a*3/2+a*4/2+a*5/2=a*根号3a/2,解得a=4备根号3
周长为3a=12根号3