(1+1/x)∧x求导思路

Question

如题所述

Answer 1

属于幂指函数，一般式是y=f(x)^g(x)，求导方法一般有三种：
① 对数求导法：lny=g(x)*lnf(x), 两端对x求导，再解出y';

②利用对数恒等式把幂指函数化为幂函数求导: y=f(x)^g(x)=e^[g(x)lnf(x)]
③ 利用幂指函数求导公式：y'=y*(lny)'

Answer 2

底数和指数都有x先考虑取对数，原式为
y=(1+1/x)^x,得
lny=xln(1+1/x)，再求导
y'/y=ln((x+1)/x)-1/(x+1),又因为y=1+1/x,所以
y'/(1+1/x)^x=ln((x+1)/x)-1/(x+1),化简得
y'=((x+1)((x+1)/x)^xln((x+1)/x)-((x+1)/x)^x)/(x+1)