这个题怎么做，关于高数的。 反常积分（后面的截图），当k为何值时，该反常积分的取值最小？

Question

如题所述

Answer 1

∫dx/(x(lnx)^k)当k=1时，上式=ln(lnx)+C发散当k≠1时，不定积分则=1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) + C当k<1时发散。

当k>1时，limx->+∞ 1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) = 0 。

所以定积分∫(2到+∞) dx/[x(lnx)^k]=0-1/(-k+1)*(ln2)^(-k+1)=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)，设函数f(k)=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)，f'(k)=[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2。

当f'(k)=0时，[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2=0，

即(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)=0(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)=(ln2)^(1-k)(1-k)ln(ln2)=1k=1-1/ln(ln2)。因为0=ln1<ln2<lne=1，

所以ln(ln2)<0，即1-1/ln(ln2)>1。当k>1-1/ln(ln2)时，f'(k)>0，当1<k<1-1/ln(ln2)时，f'(k)<0。所以当k=1-1/ln(ln2)时f(k)取极小值也是最小值。

扩展资料

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

y=lnx在点(u,lnu)斜率y'=1/x=1/u
切线方程 y-lnu=1/u(x-u) y=x/u-1+lnu 2<=u<=6
该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成图形面积
为 x/u-1+lnu-lnx在区间[2,6]上的定积分
因为∫（x/u-1+lnu-lnx)dx
=x^2/2u-x+xlnu-∫lnxdx
=x^2/2u-x+xlnu-xlnx+∫dx
=x^2/2u-x+xlnu-xlnx+x+c
=x^2/2u+xlnu-xlnx+c
所以x/u-1+lnu-lnx在区间[2,6]上的定积分为
S=[x^2/2u+xlnu-xlnx+c]|(2,6)=16/u+4lnu-4ln2
S'=-16/u^2+4/u=(-4/u)*(4/u-1) 2<=u<=6
当6>=u>=4,S'<=0
S减函数，最小值S=16/6+4ln6-4ln2=8/3-4ln3
当2<=u<4,S'>0
S增函数 最小值S=16/2+4ln2-4ln2=8
很明显当u=6时面积最小S=16/6+4ln6-4ln2=8/3-4ln3

Answer 3

就是不要随便蒙了。

Answer 4

答：
作不定积分：
∫dx/(x(lnx)^k)
当k=1时，上式=ln(lnx)+C发散
当k≠1时，不定积分则
=1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) + C
当k<1时发散。
当k>1时，limx->+∞ 1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) = 0
所以定积分∫(2到+∞) dx/[x(lnx)^k]
=0-1/(-k+1)*(ln2)^(-k+1)
=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)
设函数f(k)=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)，f'(k)=[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2
当f'(k)=0时，[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2=0
即(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)=0
(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)=(ln2)^(1-k)
(1-k)ln(ln2)=1
k=1-1/ln(ln2)
因为0=ln1<ln2<lne=1，所以ln(ln2)<0，即1-1/ln(ln2)>1。
当k>1-1/ln(ln2)时，f'(k)>0，当1<k<1-1/ln(ln2)时，f'(k)<0。
所以当k=1-1/ln(ln2)时f(k)取极小值也是最小值。本回答被提问者和网友采纳