对称矩阵的定义？

Question

如题所述

Answer 1

元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

特性　　

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
　　2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
　　3.对角矩阵都是对称矩阵。
　　两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
　　用<,>表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。
　　任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)
　　每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
　　若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
　　一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
　　如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.
　　n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
　　所谓对称变换，即对任意α、
β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。