地球物理场能量很小，除天然地震震源物理研究外，场正演问题都归结为线性偏微分方程。但是，反问题都是非线性的。
5.1.1 牛顿迭代与分形
非线性迭代的最基本方法是牛顿迭代法。也就是说，将函数展成台劳级数，略去高次项，从一次项中提出修改增量和Jacobian矩阵，构成线性方程组。牛顿迭代法收敛很快，但是收敛取决于初始猜测。
1988年，Petigen与Saupe的论文集中发表了一个有趣的试验结果，他考虑以下简单的非线性方程
z3-1=0 （5.1.1）
此方程的一个实根为z=1，两个复根为
z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）
用牛顿迭代格式
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来逼近，得到的是实根还是哪一个复根？
当然，初值z0可以是复平面z=x+iy中的任一点。可以猜测，z0在复平面上可以分为若干个区域，z0在某个区域用式（5.1.3）作迭代后收敛，在另外的区域收敛于复根。习惯于线性思维的人会认为这些区域是有清晰边界分开的几块，如z0等于1的邻域牛顿迭代将收敛于实根z=1，它的面积大约占z平面的1/3左右，而其他区域收敛于复根。事实并非如此，初值z0的收敛域是分形的，如图5.1所示。从图5.1 可见，黑色区域的面积的确是选初值区域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的边界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。为什么像式（5.1.1）那么简单的迭代格式会导致这么复杂的分形图像？为什么初值在这种边界上的微小变化会使迭代收敛到完全不同的根？
图5.1 实虚轴在（-2，2）范围内的复平面z黑色区域经牛顿迭代后收敛于实根z=1初值区，白色为收敛于复根的区域
问题归结为方程（5.1.1）的非线性，而非线性是系统走向混沌的必要条件。对于非线性系统，初值的微小变化会使系统状态在几个“吸引子”之间回弹，其几何表现就是分形。
5.1.2 分形地球模型
本书把地球参数看成是实函数集，即Hilbert空间的元，这是确定性模型。确定性模型隐含着地球物质有序分布的假定，而随机模型隐含着地球物质随机分布的假定。我们现在进一步假定地球物质分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的层次结构，这就导致地球的分形模型。
从分形的观点描述地球的根据是：地球是无标度的复杂对象，其尺度可由几毫米的微裂缝到上万公里的地球直径，而不同尺度之间的现象具有相似性。
人有特征尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的东西也有特征尺度，如火车的高度在2m上下，轮船和高楼平均为几十米，这种特征尺度称为标度。
自然现象一般具有多尺度的特征，没有特征尺度。分形几何学把不同尺度的现象用标度律联系起来
p（λt）=λαp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）
式中p（t）为某种层次的尺度，p（λt）为它放大λ倍之后的尺度，α为标度指数。而
D0=2-α （5.1.5）
等于Mandelbrot分维数。
维数指的是几何对象中的一个点所置的独立坐标的个数，如地球表面的一个点用经纬度表示，它的维数是2。在分形几何学中，维数可以为分数，分数的维数称为分维数。
对二维情况，一个正方形每边都放大3倍（尺度放大），则变为9个原正方形，有
2=l n9/l n3
对整数维为d的几何对象，每个方向都放大L倍，结果得到N个原来的对象，有
d=lnN/lnL
每个方向放大L倍等效于此方向测量尺度（或度量的单位）缩小为原来的ε=1/L倍。因此，在一般情况下，用很小的度量单位ε研究对象的尺度变化时，可定义
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这就是Mandelbrot分形维。
1992年Korvin编了一本名为《地学中的分形模型》的书，书中列举了与地球科学有关的许多分形模型。其中谈到，1984年美国地调所出动数十辆消防车对内华达岩石出露区进行冲洗，然后对其裂隙作详细填图，得出该区裂隙系统的平均分维数为1.744。用大尺度的区域断裂构造图计算此区断裂系统的分维数为1.773，证实了不同层次的地球断裂系统之间具有自相似性。陈颙与特科特等人的专著对此也有精彩的描述。
关于分形几何学与其他分维数（如相关维D2、信息维D1等）的讨论详见有关专著。以下只介绍对时间序列计算分形维D0的方法。传统的介绍D0分维数的方法多用时间系列的功率谱计算。由于地球物理资料的功率谱在高频段含有大量噪音，这种计算方法几乎不能用。我们只研究以下算法，在反射地震资料处理上取得良好效果。
对平面曲线，其总长度为
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式中：ε为度量单位（尺子）；N为量得的尺数；f为尺子量完后的剩余长度（f＜ε）；D0为Mandelbrot分形维数。将式（5.1.7）两边取对数，有
ln（N+f/ε）=-D0lny+lnL （5.1.8）
设时间序列为 ｛s1，s2，…，sm｝，取样率为Δt，则用ε1=Δt为尺子量出它对应的曲线长度为
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再令ε2=2Δt为尺子量出，有
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取ε3=4Δt，有
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将式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程
ln（Nj+fj/εj）=-D0lnεj+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）
用最小二乘法易求出方程组（5.1.12）中的两个未知数D0和L。当然，还可取ε4=8Δt等，以提高求分形维D0的准确度。下节还要提到，反演迭代输出序列的分形维是指示迭代状态的一种有用参数。
5.1.3 非线性迭代与混沌
设xn为第n步的迭代输出，xn+1为下一步的迭代输出，二次方程
xn+1=rxn（1-xn） （5.1.13）
虽然很简单，但迭代过程（演化）却是很复杂的。这个方程称为May生态方程。将xn+1及xn视为若干年后池塘中大鱼的产量，由于xn越大繁殖就越多，所以xn+1与它成正比；又因大鱼越多吃的小鱼也越多，xn+1又与（1-xn）成正比。这就是生态方程的含义，系数r与饲料总量有关。
将xn及xn+1视为若干年后你的一笔银行存款的总值，当年存款xn越多次年本利就越多，所以xn+1与xn成比例。但是，存款越多银行利率下降越多，xn+1又与（1-xn）成比例。系数r为控制参数，与银行存款总量有关。可见，生态方程反映许多自然与人文发展的规律。
将（5.1.13）式中的xn+1视为常数，则它是一个关于xn的二次方程，有两个根。这意味着演化问题存在两种选择（线性问题只有一种选择）。xn有两种选择将造成迭代输出不稳定，在两种选择中跳来跳去。例如，池塘鱼的产量和水果产量常出现大年与小年的区别，这种演化成为二齿分叉（Pitchfork bifurcation）。
分叉取决于控制参数r，二齿分叉可能不断进行下去，即由两叉变四叉，四叉变八叉。具体地说，随r从很小变到r=r1=1.0时，开始第一次分叉。当r=r2=3时，再次分四叉等等。此后，迭代变得非常不稳定，并很快变得没有规律和不可预测（即混沌）。
图5.2示出二次映射的迭代输出随控制系数的分叉过程，以及相应的Lyapunov指数。由图可见，二次映射迭代随外部控制参数r的增大导致有规律的分叉，直至走向混沌。
图5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代输出xn随r的变化，黑色区表示混沌区（a），以及Lyapunov指数的变化（b）
在非线性动力学中，混沌指的是非线性系统演化的一种不确定和无规则状态。分叉、间歇、突变（如相变）都是典型的不规则状态。在地球科学中，火山爆发是典型的间歇，地震发生是能量的突然释放，其形成的断裂裂隙具有分形结构。
混沌发生的必要条件是系统为非线性。多层次的复杂非线性系统（如人类社会）由于其自组织的困难，较易演化为混沌运动（如战争）。开放的耗散（Dissipative）系统由于固有的非线性性质，也经常出现混沌。但是，非线性只是混沌运动发生的必要条件，而不是充分条件。混沌运动的特征如下。
（1）不可预测性，指初始条件有微小的差别将导致最终结果迥然不同。设迭代映射方程为xn+1=f（xn），例如当f为二次函数时，它变成（5.1.13）的May生态方程。f在一般情况下指任何导致混沌结果的函数。如果初始条件x0带有微小的误差ε0，经过N次迭代后其误差被指数放大，记fN（x0+ε）为带误差的迭代输出，有
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因此定义
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为Lyapunov指数。还可将式（5.1.15）写为
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可见Lyapunov指数表示经N次迭代后系统演化轨道加速偏离的指数。设|ΔI|为经过一次迭代后系统信息的平均损失，有
λ（x0）=ln2|ΔI| （5.1.17）
说明λ与|ΔI|成正比。根据Shannon信息论，系统信息量等于该系统作完备描述编码所需的最小bit数目。当λ＞0时，每次迭代的信息损失都大于零，系统的熵不断增大以导致混沌的发生。图5.2（b）示出了二次迭代的λ随r的变化并将它与系统的分叉和混沌作对比。由图可见，λ＜0时对应的系统稳定，在λ=0的点系统发生分叉，而λ＞0的点对应混沌。因此，Lyapunov是指示状态的重要标量参数。
（2）整体行为的有规律性。虽然系统在未来的具体状态具有不确定性和不可预测，但是“表面上看起来疯狂杂乱，其实自有规矩”（莎士比亚）。所有系统演化的轨迹形成的相空间的图形中，存在若干个吸引轨迹的若干个很小的空间（成为吸引子），使轨迹不断收缩到其中，或者突跳到另一个吸引子附近。这种现象表示整体行为仍具有整体性。
整体行为的规律性还表现在不同层次的运动的相似性（分形）上。Feigenbaum证明，无论是哪种形如xn+1=f（xn）的混沌运动，其转化为混沌的尺度特征都由两个普适常数控制，更说明混沌理论具有整体规律性。
形式周期性，混沌状态的发生有时会重复出现，但这种重复是不确定的。例如，大地震的发生时多时少，既包括高频度的重复出现，又没有准确的周期。
非线性科学研究的全面展开，还是20世纪90年代的事。19世纪建立了线性科学的理论框架，它在20世纪发展为完整的体系。但是非线性科学理论框架的建立，将是21世纪的事。对正问题的研究尚且如此，对非线性问题的研究更加零星。接下来介绍根据混沌理论进行非线性反演的一些实例。