设0<P(A)<1,0<P(B)<1,且P(B/A)+P(B的对立/A的对立)=1,证A与B相互独立

Question

如题所述

Answer 1

解：P(B|A)+P(B的对立|A的对立)=1，得：
P(B的对立|A的对立)=1-P(B|A)=P(B的对立|A)，得：
P(A)*P(A的对立∩B的对立)=P(A的对立)*P(B的对立∩A)=[1-P(A)]*P(B的对立∩A)
得：P(A)*[P(A的对立∩B的对立)+P(B的对立∩A)]=P(B的对立∩A)
得：P(A)*P(B的对立)=P(B的对立∩A) {【注】此处用到(非A∩非B)∪(A∩非B)=非B}
从而事件“B的对立”与“A”相互独立，
从而事件B与事件A相互独立。