已知函数y=f(x)是奇函数，且在负无穷大到零上是减函数，证：y=f(x)在零到正无穷是减函数

Question

如题所述

Answer 1

设：x1>x2>0，则：
－x1<－x2<0
因为函数在(－∞，0)上递减，则：
f(－x1)>f(－x2)
由于函数是奇函数，则：f(－x)=－f(x)，则：
f(－x1)>f(－x2)可化为：
－f(x1)>－f(x2)
f(x1)<f(x2)
则：当x1>x2>0时，f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数。

Answer 2

证明：x1<x2<0,f(x1)-f(x2)>0
且f(-x)=-f(x);
则有 -x1>-x2>0
f(-x1)=-f(x1);f(-x2)=-f(x2)
已知f(x1)-f(x2)>0 则 [-f(x1)]-[-f(x2)]=-[f(x1)-f(x2)]<0
即当-x1>-x2>0;f(-x1)-f(-x2)<0
即 令x3=-x1,x4=-x2;
当 x3>x4时 ,f(x3)-f(x4)<0
所以 x>0时也为单调减

Answer 3

在负无穷到0 f'(x)<0 , 根据高等数学中函数性质，函数是奇函数，则其导函数为偶函数，得该函数导函数在0到正无穷仍<0. 因此原函数f(x)在0到正无穷上是减函数