物理问题

Question

一个装满水的容器底部有一个半径为r的圆洞，洞由一个质量为m，半径为R（R>r）的球堵住，容器中的水缓慢减少，当达到一个确定值h时，球从圆洞中升起，求h。
请说下解题过程，谢啦~

Answer 1

首先要理解浮力产生的原因。有一定体积的物体在水中受到浮力的作用，本质上是水分子在物体表面各个点撞击产生压力的合力。这些压力的合力最终不为0，而是指向水压减小的方向。

分析球的受力，无外乎是受到向下的重力mg、向上的大气压力、水的压力和洞口边沿的支持力N。

大气压力是不必考虑的，因为容器水面是通大气的，属于“自由液面”，在小尺度上，对于整个系统来说，上下的大气压相互抵消。

水的压力其实就是统称的浮力，只不过这个浮力需要进一步分析。你可以想象水分子是垂直压向球表面的。因为R＞r，球的大部分在水里，所以从缝隙里突出到水中的一部分，正为小球浮起提供了可能。

根据阿基米德原理，小球浸入水中的部分会受到浮力作用，公式是f=ρgV，V是球的排水体积，ρ是水的密度。但是要注意，小球浸入水中的部分是个球缺，这部分球缺并非四面有水，其与洞口相切的那个面，面积是πr²，是不受水压的。那么我们假设这个面也有水包围，也就是说把这个实心球的上半部分切下来，没进水里，它受到的浮力才能用f=ρgV计算。

小球尚未上浮时，实际受到水的压力，要比假设中上半部分球缺受到的浮力少一部分，这少了的一部分，正是假设洞口面也接触水，水对这个πr²面的压力。这个压力垂直于πr²面，竖直向上。

综上，小球受的力，为竖直向下的重力mg，受洞口沿向上的支持力N，以及水压力的合力F。水压力的合力F起初是向下的，这样才能把小球压在洞口上。随着水面下降，水深减小，F逐渐减小；当F减小到0时，支持力N=重力mg；继续下去，水压力F的方向变为向上，洞口边沿的支持力逐渐减小。此时的水压力，才是名副其实的“浮力”。而根据上面的分析，这个浮力F并不是f=ρgV，而是（当它向上的时候，大小等于）F=ρgV-ρghπr²。后面这个ρghπr²，正是前面假设的水对洞口圆面πr²向上的压力。
当水压力F等于重力mg的时候，支持力N=0，便是临界点。之后小球将上浮。

所以平衡状态的关系是：
ρgV-ρghπr²=mg

用积分可以求球缺的体积：
V=πH²(R-H/3)
其中H为球缺的高，在这道题里
H=√(R²-r²)

代入即可求得h。