原题：三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA/2=1。E是PB的中点，
1、求异面直线AE与PC所成角的余弦值。
2、求直线PC与平面ABC所成角正弦值，
3、在直线PB上确定一点Q，使二面角Q-AC-B的余弦值为1/3。
解：1、以C为原点，CA为X轴，CB为Y轴，垂直ABC平面的上方向为Z轴建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（1，0，2），
E（1/2，1/2，1），
向量AE=（-1/2，1/2，1），向量PC=（-1，0，-2），
向量AE•PC=1/2+0-2=-3/2，
|AE|=√6/2，|PC|=√5，
设AE和PC所角为α1，
∴cosα1=AE•PC/（|AE|*|PC|）=（-3/2）/[（√6/2）*√5]
=-√30/10，
按规定二直线夹角不超过90度，应取锐角，
∴AE和PC所成角余弦为√30/10。
2、∵PA⊥平面ABC，
∴CA就是PC在平面ABC上的射影，
∴〈PCA就是PC和平面ABC所成角，
sin<PCA=PA/PC,
根据=勾股定理，PC=√（1^2+2^2）=√5，
∴sin<PCA=2/√5=2√5/5。
直线PC与平面ABC所成角正弦值为2√5/5。
3、∵PA⊥平面ABC，
∴向量AP就是平面ABC的法向量，
AP=（0，0，2），
设Q（x0,y0,z0）,
设BQ/QP=λ，根据定比分点公式，
x0=(xB+λxP)/(1+λ)=（0+λ*1）/（1+λ）
=λ/（1+λ），
y0=(yB+λyP)/(1+λ)=(1+λ*0)/(1+λ)
=1/(1+λ),
z0=(zB+λzP)/(1+λ)=(0+λ*2)/(1+λ)
=2λ/(1+λ)，
设平面ACQ的法向量为n2=（x2,y2,1）,
向量CA=（1，0，0），
向量CQ=（λ/（1+λ），1/(1+λ)，2λ/(1+λ)），
∵向量n2⊥CA，
∴n2•CA=x2+0+0=0,
∴x2=0,
∵向量n2⊥CQ,
∴n2•CQ=x2*λ/（1+λ）+y2*1/(1+λ)+1*2λ/(1+λ)=0,
y2=-2λ,
∴n2=(0,-2λ,1),
向量n2•AP=0+0+2=2,
|n2|=√（1+4λ^2）,
|AP|=2, 设向量n2和向量AP所成角β，
向量n2和向量AP所成角余弦为1/3，
n2•AP=|n2|*|AP|*cosβ，
2=√（1+4λ^2）*2*(1/3),
λ=√2,
∴当BQ/QP=√2时，二面角Q-AC-B的余弦值为1/3。
