在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得
在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．
解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=OA2+OB2=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥O∴△ADM∽△ABO．，
∴△ADM∽△ABO．有ADAB=
AMAO=
DMBO得AM=
ADAB•AO=
35×3=
95∴OM=65，∴MD=
125
∴点D的坐标为（6/5，12/5（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD=DEOE=34，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=4x-3，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴9=9x2+（4x-3）2，
∴x=2425∴D（96/25，72/25）∴直线AD的解析式为：y=2/47x-7/27，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=-7/24x+b，把D（96/25，72/25）代入得，72/25=-7/24×96/25+b，
解得b=4，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于-1，
∴直线CD的解析式为y=-7/24x+4．
同理可得直线CD的另一个解析式为y=7/24x-4
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√（OA^2+OB^2）=5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有 AD/AB=AM/AO=DM/BO，
得 AM=AD/AB•AO=3/5×3=9/5，
∴OM= 6/5，
∴ MD=12/5，
∴点D的坐标为（ 6/5， 12/5）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD=DE/OE=tan∠ABO= 3/4，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=3-4x，
在Rt△ADE中，AD^2=AE^2+DE^2，
∴9=9x^2+（3-4x）^2，
∴x= 24/25，
∴D（ 96/25， 72/25），
∴直线AD的解析式为：y= 24/7x- 72/7，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=- 7/24x+b，
则b=4，
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4，
若逆时针旋转，则可得直线CD的解析式为y= 7/24x-4．
∴直线CD的解析式为y=- 7/24x+4或y= 7/24x-4本回答被提问者采纳
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√（OA^2+OB^2）=5，∴MD∥OB，∴△ADM∽△ABO．有 AD/AB=AM/AO=DM/BO，得 AM=AD/AB•AO=3/5×3=9/5，∴OM= 6/5，∴ MD=12/5，∴点D的坐标为（ 6/5， 12/5）．
（2）∵AC=AB，∠CAB=α∴∠ABC=∠ACB∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；
（3）直线CD的解析式为y=- 7/24x+4或y= 7/24x-4
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