呵呵，问 一个 数列极限的问题，我还是菜鸟。答得详细，好懂奖 20分。

Question

问题一、1/2*4+1/3*5+1/4*6+...+1/(n+1)(n+3)是怎么变成=>1/2*[1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+...+1/n+1-1/n+3]的？
问题二、ln(1+1/n^2)<1/n^2。请问为什么？
问题三、（1/2+1/2^2+...+1/2^n-1)+（1/3+1/3^2+...+1/3\2^n-1)+1/6 是怎么变成=>1-1/2^n+1/2-1/3^n*2+1/6<=3/5的？
问题四、lim n->∞ ,(n^2+1)/(3n^2+n+1)=1/2不等于0，故该级数发散。不是趋于s,级数就收敛吗？请问这里为什么发散？
问题五、1/n(n+1)=1/n-1/n+1,请问这里是怎么过来的？
问题六、lim x->∞ [(1+1/[x]+1)^[x]+1]/[lim n->∞ [(1+1/[x]+1)]=e请问为什么？

Answer 1

会的帮你解答下：
【一】
1/[(n＋1)(n＋3)]=(1/2)[1/(n＋1)－1/(n＋3)]
则：
1/[2×4]=(1/2)[(1/2)－(1/4)]
1/[3×5]=(1/2)[(1/3)－(1/5)]
1/[4×6]=(1/2)[(1/4)－(1/6)]
1/[5×7]=(1/2)[(1/5)－(1/7)]
1/[6×8]=(1/2)[(1/6)－(1/8)]
全部相加后，会得到：
S=(1/2)[(1/2)＋(1/3)－1/(n＋2)－1/(n＋3)]
【二】
设：g(x)=ln(1＋x)－x，则g'(x)=1/(1＋x)－1=－x/(1＋x)
则g(x)的最大值是g(0)=0，则：g(x)<g(0)=0，得：ln(1＋x)－x<0，即：ln(1＋x)<x
则有：ln(1＋1/n²)<1/n²
【三】
这是两个等比数列求和，S=[a1(1－q^n)]/(1－q)
第一组中，a1=1/2，公比是1=1/2
【四】应该等于1/3吧？？
【五】看第一个。
【六】

Answer 2

1、1/(n+1)(n+3)=1/2(1/(n+1)-1/(n+3))代入就可以得到后面的式子了
2、考虑ln(1+x)-x求导发现当x>0时函数递减，那么最大值是x=0，值为0，也就是ln(1+x)<x
x=1/n^2即可
3、等比数列求和公式套上去
（1/2+1/2^2+...+1/2^n-1)=1/2*(1-1/2^n-1)/(1-1/2)=1-1/2^n-1(你后面写成1/2^n估计错了）
（1/3+1/3^2+...+1/3^n^2-1)=1/3*(1-1/3^2^n-1)/(1-1/3)=1/2-1/2*1/3^n^2
整个式子变成1+1/2+1/6-1/2^n-1-1/2*1/3^n^2<1+1/2+1/6=5/3（这里估计你也写错了）
4、你这里估计是要求n=1到n=无穷的级数和，但是你想n->∞时，每项趋向于1/2，那么加起来肯定趋向于无穷的，这个和就是发散的
5、你通分算一下就得到了，第一题和这类似
6、这里要用到一个结论（1+1/x)^x当x->∞时这个式子趋向于e。那么分子趋向于e，分母趋向于1，整个式子趋向于e追问

呵呵，请加为好友。更好提问。

追答

恩，不一定有时间

本回答被网友采纳