已知f(x)的一个原函数是e^(-x),则∫xf'(x)dx等于（ ）

Question

A. xe^(-x)+e^(-x)+C
B. xe^(-x)-e^(-x)+C
C. -xe^(-x)-e^(-x)+C
D. -xe^(-x)+e^(-x)+C

Answer 1

f(x)的原函数是e^(- x)，即∫ f(x) dx = e^(- x)
f(x) = [e^(- x)]' = - e^(- x)，两边求导
∫ xf'(x) dx
= ∫ x df(x)
= xf(x) - ∫ f(x) dx，可以代入上面的资料了
= x[- e^(- x)] - e^(- x) + C
= - xe^(- x) - e^(- x) + C
所以答案是C

Answer 2

相当于知道：F(x)=∫f(x)dx=e^(-x)+C'
∴∫xf'(x)dx=∫xd(f(x))=xf(x)-∫f(x)dx=x*F'(x)-F(x)=-xe^(-x)-e^(-x)+C
∴选C

Answer 3

∫xf'(x)dx
=∫xdf(x)
=xf(x)-∫f(x)dx
=xf(x)-e^(-x)+C
=-xe^(-x)-e^(-x)+C