the first time 第一次，是名词，在句子中只能做名词的成分。
at the first time 是
介词短语，是“在第一次”
for the first time 也是第一次，是个副词短语，在句子中做状语。
例子：
I felt nervous the first time I gave a speech to many students.
我第一次给学生做演讲时感到很紧张。
He won the match at the first time.
他在第一次比赛中就获胜了。
I felt repentance and sorrow for the first time .
我第一次感到后悔，感到难过。
追问那个、“I felt nervous the first time I gave a speech to many students.
”这里用for the first time行不行呢？
追答不行，the first time （that）接从句；而for the first time 是表示第一次，一般只放在句尾，不能在句中，更不能接从句。