柯西不等式的表达是什么？

Question

如题所述

Answer 1

柯西不等式的一般证法有以下几种：
　　■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,
bi，则有
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≥
(∑ai
*bi)^2.
　　我们令
f(x)
=
∑(ai
+
x
*
bi)^2
=
(∑bi^2)
*
x^2
+
2
*
(∑ai
*
bi)
*
x
+
(∑ai^2)
　　则我们知道恒有
f(x)
≥
0.
　　用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
Δ
=
4
*
(∑ai
*
bi)^2
-
4
*
(∑ai^2)
*
(∑bi^2)
≤
0.
　　于是移项得到结论。
　　■②用向量来证.
　　m=(a1,a2......an)
n=(b1,b2......bn)
　　mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
　　因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
　　这就证明了不等式．
　　柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

Answer 2

二维形式　　(a^2＋b^2)(c^2
+
d^2)≥(ac+bd)^2
　　等号成立条件：ad=bc
　　扩展:（a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...bn^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2
　　等号成立条件：a1:a2:...:an=b1:b2...:bn
　　
三角形式
　　√(a＋b)＋√(c＋d)≥√[(a-c)＋(b-d)]
　　等号成立条件：ad=bc
　　注：“√”表示平方根，
　　
向量形式
　　|
α
||
β
|≥|
α
·
β
|，
α
=(a1,a,…,an)，
β
=(b1,b,…,bn)（n∈N，n≥2）
　　等号成立条件：
β
为零向量，或
α
=λ
β
（λ∈R）。
　　
一般形式
　　(∑ai)(∑bi)
≥
(∑ai·bi)
　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
　　上述不等式等同于图片中的不等式。
　　
推广形式
　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/n)＋(Πy)^(1/n)＋…]^n
　　注：“Πx”表示x1，x，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
　　不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）

Answer 3