设f(z)在|z|> 1上解析且有界，给定z1满足|z1| < 1以及正整数n,证明:f(z)dz/(z-z1)^(n+1)这个东西在|z|=2的

Question

路径积分等于零

Answer 1

你只需要在z1的周围作一个半径为eps的小圆，eps足够小，由于函数f在这个小圆和圆周|z|=2之间的区域处处解析，所以在圆周|z|=2上的积分就等于在z1周围的eps小圆周上的积分。
积分的曲线重新参数化，z=z1+eps*exp{i*sita}，积分限从0到2pi，由f的有界性，这个积分对eps求趋于0的极限结果是积分为0.
即得证。追问

f在z膜大于1才解析，而z1膜小于1

Answer 2

把积分路径|z|=2转化到|z-z1|=R，R＞2（因为解析）；
对积分取模，小于等于被积函数模在路径上的最大值乘以路径周长；
这个关系对任意R＞2都成立，令R趋于正无穷；
利用有界可得出右边极限为0，而左边的极限为本身（积分的模），且非负
可得积分的模为0，即积分为0本回答被提问者和网友采纳