f''(x)存在,说明在a->0时, [f'(x+a)-f'(x)]/a -> f''(x).
左式=lim_{h->0}[2f'(x+2h)-2f'(x+h)]/(2h)=lim_{h->0}[2f'(x+2h)-2f'(x)]/(2h) + lim_{h->0}[2f'(x)-2f'(x+h)]/(2h)
=2lim_{h->0}[f'(x+2h)-f'(x)]/(2h) - lim_{h->0}[f'(x+h)-f'(x)]/h
=2f''(x) - f''(x)
=f''(x)
正确做法如上.
第一张图中,楼主划线处有纰漏, 导数定义中的被减项是个固定项,不能随着h的改变而变化.
因此, h->0时, [f'(x+2h)-f'(x+h)]/(2h) 的极限不是 f''(x+h).
第二张图中, f''(x+2h)和f''(x+h)不能保证存在. 因此,不能第二次应用洛必达法则.
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