∫dx/(1+√(1-2x-x²)) 不定积分 ∫tan-¹(√（a-x)/（a+x））dx 从0积到a的定积分值

Question

如题所述

Answer 1

其实第一题挺有难度的。。。

∫ arctan√[(a - x)/(a + x)] dx

= x * arctan√[(a - x)/(a + x)] - ∫ x * (- 1/2) * 1/√(a² - x²) dx

= x * arctan√[(a - x)/(a + x)] + (1/2)∫ x/√(a² - x²) dx

= x * arctan√[(a - x)/(a + x)] + (1/2)(- 1/2)∫ 1/√(a² - x²) d(a² - x²)

= x * arctan√[(a - x)/(a + x)] - (1/4) * 2√(a² - x²) + C

= x * arctan√[(a - x)/(a + x)] - (1/2)√(a² - x²) + C

所以∫(0→a) arctan√[(a - x)/(a + x)] dx

= 0 - [0 - (1/2)√(a²)]

= |a|/2