对勾函数y=ax+b/x的最小值怎么证明?求清楚完美的答案，谢谢!

Question

如题所述

Answer 1

①x>0时，y=ax+b/x≥2√(ax·b/x)=2√(ab)(均值不等式)

即ax=b/x，x=√(b/a)时，所求最小值为2√(ab)

②x<0时，y=ax+b/x=-[(-ax)+(-b/x)]≤-2√[(-ax)·(-b/x)]=-2√(ab).

即x=-√(b/a)时，最大值为-2√(ab)

扩展资料

对勾函数的一般形式是：f(x)=ax+b/x(a>0) 不过在高中文科数学中a多半仅为1，b值不定。

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

当x>0，有x=根号b/根号a，有最小值是2√ab

当x<0，有x=-根号b/根号a，有最大值是：－2√ab

对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：

设x1<x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=[(x1-x2)(x1x2-a)]/(x1x2）

Answer 2

既然是对勾函数，则
a>0,b>0;或a<0,b<0吧？

若a>0,b>0，则
①x>0时，
y=ax+b/x
≥2√(ax·b/x)
=2√(ab)(均值不等式)
即ax=b/x，x=√(b/a)时，
所求最小值为2√(ab).
②x<0时，
y=ax+b/x
=-[(-ax)+(-b/x)]
≤-2√[(-ax)·(-b/x)]
=-2√(ab).
即x=-√(b/a)时，
最大值为-2√(ab)，
此时，不存在最小值!

若a<0，b<0，则
①x>0时，结论同上述②;
②x<0时，结论同上述①。追问

第①步中y=ax+bx≥2√(ax×bx)怎么得来的，还有a和b一定要同号吗?

追答

是基本不等式啊!高中二年级肯定知道。
另外，a、b不同号则y=ax+b/x不是对勾函数了，你可画图试试。

追问

这样啊，我是高一的，因为有一次考试出现对勾函数，而老师只粗略讲了它的最小值，我一直都搞不懂它是怎么得来的，困惑了我许久

既然是高二的知识，那我就不深入研究了，但同样谢谢你了

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