洛朗级数的求法？

Question

如题所述

Answer 1

如果lim(z→a)[(z-a)^m]f(z)=一个有限值（非0）
那么a是f(z)的m阶极点
用级数展开也可以
lim(z→0)(z-0)^3*[1/(sinz-z)]
=lim(z→0)3z^2/(cosz-1)
=lim(z→0)6z/(-sinz)
=-6
[级数展开sinz=z-z^3/3!+...
可见z是3阶极点]

lim(z→0)(z-0)^2*[(e^z-1)/z^3]
=lim(z→0)(e^z-1)/z
=lim(z→0)e^z/1
=1
[级数展开e^z=1+z+z^2/2+z^3/3...
可见z是2阶极点]
lim(z→0)(z-0)*[sinz/z^2]
=lim(z→0)sinz/z
=1
[级数展开sinz=z-z^3/3!+...
可见z是1阶极点

性质

同一个函数在不同的区域中进行展开时，其展开的级数形式不一样。也就是说，对于一个解析函数的洛朗展开式，其展开的结果不仅依赖于函数的形式，还依赖于所展开的区域形状（环形区域的中心和半径）。洛朗展开式的系数计算式还可以广泛应用于闭合环路的积分计算中，从而为留数打下基础。

求解方法

洛朗定理给出了将一个在圆环域内解析的函数展开成洛朗级数的一般方法，即求出cn代入即可，这种方法为直接法。但是当函数复杂时，利用直接法求cn往往比较麻烦。间接法是我们常采用的方法。