x→0，lim x/tanx=1，所以x=0处是可去间断点。
x→kπ，lim x/tanx=∞，所以x=kπ (k≠0)处是无穷间断点。
x→kπ+π/2，。lim x/tanx=0，所以x=kπ+π/2处是可去间断点。
由于函数是初等函数，所以在定义域其他地方连续。
定义
设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一。
（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。
（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。
（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。
则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。