泰勒公式是一种用于将一个函数在某一点处展开成无穷级数的数学工具。几乎任何具有充分光滑性质的函数都可以使用泰勒公式展开。
具体来说，如果一个函数在某一点的所有阶导数都存在，并且具有足够的光滑性，那么该函数可以通过泰勒级数展开。
泰勒公式的一般形式是：
f(x) = f(a) + f’(a)(x - a)/1! + f’‘(a)(x - a)^2/2! + f’‘’(a)(x - a)^3/3! + … + f^n(a)(x - a)^n/n! + …
其中，f(x) 是被展开的函数，a 是展开的中心点， f’(x)、f’‘(x)、f’‘’(x)、…、f^n(x) 表示分别取一阶、二阶、三阶、…、n阶导数，n! 表示 n 的阶乘。
需要注意的是，展开的有效性与函数的光滑性直接相关。对于一阶可导、二阶可导等函数，可以根据泰勒公式展开到相应的阶数。而对于一些特殊函数，如绝对值函数、阶梯函数等，在某些点展开可能会遇到困难或不可行。
以下是几个常用的泰勒展开式：
所有的函数都能够泰勒展开，没有条件。
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
扩展资料：
泰勒公式（Taylor's formula）推导：
带peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)
其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘。）
使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。
Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等
参考资料：百度百科——泰勒公式
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n!
其中，f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。n阶导数f^n(a)在点a处的值是固定的，n!表示n的阶乘。