设随机变量x的概率密度函数为f(x)

Question

设随机变量X的概率密度为f(x)=x 0≤x＜1；2-x 1≤x≤2；0 其他 ,则P｛X≤1.5｝是多少?

Answer 1

由X的概率密度可得，X的分布函数为：

x≤0时，F（x）=P{X≤x}= 0；

0＜x＜1时，F（x）=P{X≤x}=x^2；

x≥1时，F（x）=P{X≤x}=1。

所以，在一次观察中事件{X≤1/2}出现的概率为：1/4。

扩展资料

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。

所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

通常来说，会把连续型随机变量的区间看作横坐标，概率看作纵坐标，这就是产生悖论的关键原因，引入概率密度后，仍把区间看成横坐标，不过要把概率密度看成是纵坐标，这样区间内的面积，也就是概率密度的积分，就可以用来表示事件在这个区间发生的概率，所有的面积之和就是1。

Answer 2

P｛X≤1.5｝的大小是f(x)曲线从x=0到x=1.5与x轴所围的面积
S=1/2*1*f(1)*2-1/2*(1.5-1)*f(1.5)
=1-1/8
=7/8
则P｛X≤1.5｝=7/8