第1个回答 2020-01-25
SΔAPQ=SΔABP-SΔABQ
=(1/2)*AB*│Yp-Yq│=1/2│Yp-Yq│。问题变成求│Yp-Yq│的最大值。设过B点的直线方程为：y=k(x-2)，将x解出代入椭圆方程，整理后得：y²+[4k/(2k²+1)]y+2k²/(2k²+1)=0，于是│Yp-Yq│=[(Yp+Yq)²-4YpYq]^(1/2)={[4k/(2k²+1)]²-4×2k²/(2k²+1)}^(1/2)=[8k²(1-2k²)/(2k²+1)²]^(1/2)，当方括号里的函数取最大值时，│Yp-Yq│取最大值。方括号里的函数对k求导并令其为零得：16k(1-6k²)/(2k²+1)³=0，k=0时直线是x轴不合题意舍去。于是k²=1/6，代回│Yp-Yq│的表达式得│Yp-Yq│的最大值为1/√2,故ΔAPQ面积的最大值为（√2）/4.